Lehmerjeva matrika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Lehmerjeva matrika je konstantna simetrična matrika za katero velja

A_{ij} =
\begin{cases}
i/j, & j\ge i \\
j/i, & j<i.
\end{cases}
.

To lahko zapišemo tudi kot

A_{ij} = \frac{\mbox{min}(i,j)}{\mbox{max}(i,j)}.

Imenuje se po ameriškem matematiku Derricku Henryju Lehmerju (1905 – 1991).

Primeri[uredi | uredi kodo]

Podani so primeri nekaterih Lehmerjevih matrik in njihove obratne matrike:


\begin{array}{lllll}
A_2=\begin{pmatrix}
  1   & 1/2  \\
  1/2 &   1  
\end{pmatrix};
&
A_2^{-1}=\begin{pmatrix}
  4/3 & -2/3  \\
 -2/3 & 4/3
\end{pmatrix};

\\
\\
A_3=\begin{pmatrix}
  1   & 1/2 & 1/3 \\
  1/2 &   1 & 2/3 \\
  1/3 & 2/3 &   1 
\end{pmatrix};
&
A_3^{-1}=\begin{pmatrix}
  4/3 & -2/3  &      \\
 -2/3 & 32/15 & -6/5 \\
      & -6/5  & 9/5
\end{pmatrix};

\\
\\

A_4=\begin{pmatrix}
  1   & 1/2 & 1/3 & 1/4 \\
  1/2 &   1 & 2/3 & 1/2 \\
  1/3 & 2/3 &   1 & 3/4 \\
  1/4 & 1/2 & 3/4 & 1 
\end{pmatrix};
&
A_4^{-1}=\begin{pmatrix}
  4/3 & -2/3  &        &       \\
 -2/3 & 32/15 &  -6/5  &       \\
      & -6/5  & 108/35 & -12/7 \\
      &       & -12/7  & 16/7
\end{pmatrix}.
\\
\end{array}

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

  • kadar je  A \, Lehmerjeva matrika  n \times n \, in  B \, Lehmerjeva matrika  m \times m \,, potem je  A \, podmatrika matrike  B \, pri čemer pa je  m > n \,. Vrednost elementov matrike se manjša proti nič v smeri proč od diagonale.
  • obratna matrika Lehmerjeve matrika je tridiagonalna matrika, ki ima vrednosti na diagonali nad glavno diagonalo (naddiagonali) in diagonali pod glavno diagonalo (podddiagonali) vedno negativne.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]