Lehmerjeva matrika

Lehmerjeva matrika je konstantna simetrična matrika za katero velja

$A_{ij} = \begin{cases} i/j, & j\ge i \\ j/i, & j<i. \end{cases}$ .

To lahko zapišemo tudi kot

$A_{ij} = \frac{\mbox{min}(i,j)}{\mbox{max}(i,j)}.$

Imenuje se po ameriškem matematiku Derricku Henryju Lehmerju (1905 – 1991).

Primeri [uredi]

Podani so primeri nekaterih Lehmerjevih matrik in njihove obratne matrike:

$\begin{array}{lllll} A_2=\begin{pmatrix} 1 & 1/2 \\ 1/2 & 1 \end{pmatrix}; & A_2^{-1}=\begin{pmatrix} 4/3 & -2/3 \\ -2/3 & 4/3 \end{pmatrix}; \\ \\ A_3=\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 1/3 \\ 1/2 & 1 & 2/3 \\ 1/3 & 2/3 & 1 \end{pmatrix}; & A_3^{-1}=\begin{pmatrix} 4/3 & -2/3 & \\ -2/3 & 32/15 & -6/5 \\ & -6/5 & 9/5 \end{pmatrix}; \\ \\ A_4=\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 1/3 & 1/4 \\ 1/2 & 1 & 2/3 & 1/2 \\ 1/3 & 2/3 & 1 & 3/4 \\ 1/4 & 1/2 & 3/4 & 1 \end{pmatrix}; & A_4^{-1}=\begin{pmatrix} 4/3 & -2/3 & & \\ -2/3 & 32/15 & -6/5 & \\ & -6/5 & 108/35 & -12/7 \\ & & -12/7 & 16/7 \end{pmatrix}. \\ \end{array}$

Lastnosti [uredi]

kadar je $A \,$ Lehmerjeva matrika $n \times n \,$ in $B \,$ Lehmerjeva matrika $m \times m \,$ , potem je $A \,$ podmatrika matrike $B \,$ pri čemer pa je $m > n \,$ . Vrednost elementov matrike se manjša proti nič v smeri proč od diagonale.
obratna matrika Lehmerjeve matrika je tridiagonalna matrika, ki ima vrednosti na diagonali nad glavno diagonalo (naddiagonali) in diagonali pod glavno diagonalo (podddiagonali) vedno negativne.