Krivočrtni koordinatni sistem

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Krivočrtne, afine in kartezične koordinate v dvorazsežnem prostoru.

Krivočrtni koordinatni sistem je koordinatni sistem v Evklidskem prostoru v katerem so lahko koordinatne premice ukrivljene. Te koordinate se lahko dobijo iz kartezičnega koordinatnega sistema z uporabo preslikave, ki je lokalno inverzibilna v vsaki točki. To pa pomeni, da lahko v vsaki točki, ki je dana v kartezičnem koordinatnem sistemu pretvorimo koordinate v krivočrtne in nazaj.

Izraz je skoval francoski matematik Gabriel Lamé (1795 - 1870).

V dvorazsežnem prikažemo lego točke s koordinatama (x_1, x_2), vektor pa v obliki  \mathbf{x} = x_1~\mathbf{e}_1 + x_2~\mathbf{e}_2 kjer sta \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2 bazna vektorja. Na podoben način lahko opišemo lego neke točke v krivočrtnem koordinatnem sistemu. Koordinate v tem sistemu pa označimo kot (\xi^1,\xi^2). Vektor lege pa z \mathbf{x} = \xi^1~\mathbf{g}_1 + \xi^2~\mathbf{g}_2. Količini \xi^i in x_i sta povezani s preslikavo \xi^i = \varphi_i(x_1, x_2)

Bazna vektorja \mathbf{g}_i in \mathbf{e}_i sta povezana z


  \mathbf{g}_i = \cfrac{\partial x_1}{\partial\xi^i}\mathbf{e}_1 + \cfrac{\partial x_2}{\partial\xi^i}\mathbf{e}_2 
 .

Koordinatne črte so nivojske krivulje za \xi^1 in \xi^2 v dvorazsežni ravnini.

Zgled za krivočrtne koordinate je polarni koordinatni sistem. V tem primeru je preslikava enaka


   \xi^1 = r = \sqrt{x_1^2 + x_2^2} ~;~~ \xi^2 = \theta = \tan^{-1}(x_2/x_1)

Splošna oblika krivočrtnih koordinat[uredi | uredi kodo]

Koordinatne ploskve, koordinatne smeri in koordinatne osi splošne oblike krivočrtnih koordinat.

V kartezičnem koordinatnem sistemu je lega točke P(x, y, z) določena s presekom treh med seboj pravokotnih ravnin x = konst., y = konst. z = konst. Koordinate x, y, in z so povezane s tremi novimi vrednostmi q1, q2 in q3 z enačbami

x = x(q1,q2,q3)     neposredna preslikava
y = y(q1,q2,q3)     (krivočrtne v kartezične koordinate)
z = z(q1,q2,q3).

Zgornje enačbe lahko zapišemo tudi kot

q1 = q1(x, y, z)     inverzna preslikava
q2 = q2(x, y, z)     (kartezične v krivočrtne koordinate)
q3 = q3(x, y, z).

Funkcija preslikav je bijektivna in zadovoljuje zahteve v domeni:

To pa lahko zapišemo kot

 |J^{-1}| = \det{\partial(q_1, q_2, q_3) \over \partial(x, y, z)}
=\begin{vmatrix} 
   \frac{\partial q_1}{\partial x} & \frac{\partial q_1}{\partial y} & \frac{\partial q_1}{\partial z} 
\\ \frac{\partial q_2}{\partial x} & \frac{\partial q_2}{\partial y} & \frac{\partial q_2}{\partial z} 
\\ \frac{\partial q_3}{\partial x} & \frac{\partial q_3}{\partial y} & \frac{\partial q_3}{\partial z}  \end{vmatrix} \neq 0 .

Dano točko lahko opišemo tako, da podamo koordinate x, y in z ali pa koordinate q1, q2 in q3. Inverzna enačba opisuje ploskev v novih koordinatah in presečišče treh ploskev določa lego točke v trirazsežnem prostoru. Ploskve q1 = konstanta, q2 = konstanta in q3 = konstanta, se imenujejo koordinatne ploskve. Prostorske krivulje, ki jih dobimo na presečiščih dveh ploskev, pa so koordinatne črte. Koordinatne osi so določene kot tangente na koordinatne črte na preseku treh ploskev. To v splošnem stalne smeri v prostoru, kar velja za kartezične koordinate. Količina (q1, q2, q3) so krivočrtne koordinate točke P(q1, q2, q3).

V splošnem pa so (q1, q2,.... qn) krivočrtne koordinate v n-razsežnem prostoru.

Zgled: Sferne koordinate[uredi | uredi kodo]

Koordinatne ploskve, koordinatne smeri in koordinatne osi sfernih koordinat. Ploskve: r - sfere, θ - stožci, φ - polravnine; smeri: r - straight beams, θ – vertikalni polkrogi, φ – horizontalne krožnice; osi: r – ravna smer, θ – tangente na vertikalne polkrožnice, φ – tangente na horizontalne krožnice.

Sferne koordinate so najpogosteje uporabljene krivočrtne koordinate. Krivočrtne koordinate (q1, q2, q3).

V tem sistemu koordinate običajno označujemo z r (razdalja od pola, velja r ≥ 0), θ (zenitna razdalja ali širina 0 ≤ θ ≤ 180°) in φ (azimut ali dolžina 0 ≤ φ ≤ 360°).

Neposredna povezava med kartezičnimi in sfernimi koordinatami je


  \begin{align}
      x & = r \sin\theta \cos\phi \\
      y & = r \sin\theta \sin\phi \\
      z & = r \cos\theta
  \end{align}
.

Z rešivijo za r, θ, in φ, dobimo obratne odnose med sfernimi in kartezičnimi koordinatami


  \begin{align}
    r & =\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\
    \theta & =\arccos \left( {\frac{z}{{\sqrt {x^2 + y^2 + z^2 } }}} \right) \\
    \varphi & =\arctan \left( {\frac{y}{x}} \right)
  \end{align}
 .

Krivočrtna lokalna baza[uredi | uredi kodo]

Pojem baze[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: Baza (linearna algebra).

Da bi definirali vektor s pomočjo koordinat potrebujemo še pojem baze. Baza je v trirazsežnem prostoru množica linearno neodvisnih vektorjev\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\}, ki jih imenujemo bazni vektorji. Vsak bazni vektor je povezan z eno koordinato pripadajoče razsežnosti. Vsak vektor \mathbf{v} lahko prikažemo kot vsoto vektorjev v_i~\mathbf{e}_i, ki jih dobimo kot zmnožek baznega vektorja (\mathbf{e}_i) s skalarnim koeficientom (v_i), ki ga imenujemo komponenta. Vsak vektor ima natančno komponento v vsaki razsežnosti in ga lahko prikažemo kot


  \mathbf{v} = v_1~\mathbf{e}_1 + v_2~\mathbf{e}_2 + v_3~\mathbf{e}_3
 .

Za takšen koordinatni sistem in njegovo bazo se zahteva, da je vsaj ena vrednost v_i\ne 0 velja


  v_1~\mathbf{e}_1 + v_2~\mathbf{e}_2 + v_3~\mathbf{e}_3 \ne 0 
 . Ta pogoj se imenuje linearna neodvisnost.

Linearna neodvisnost pravi, da ne obstojajo bazni vektorji z velikostjo nič, ker bi v tem primeru dobili vektor z velikostjo nič, če bi ga množili s poljubno komponento. Nekoplanarni vektorji so linearno neodvisni. Katerikoli trije nekoplanarni vektorji lahko služijo kot baza v treh razsežnostih.

Bazni vektorji v krivočrtnih koordinatah[uredi | uredi kodo]

Za splošno obliko krivočrtnih koordinat se bazni vektorji in komponente spreminjajo od točke do točke. Poglejmo n-razsežni vektor \mathbf{v}, ki je izražen v kartezičnih koordinatah kot


  \mathbf{v} = v^1~\mathbf{e}_1 + v^2~\mathbf{e}_2 + v^3~\mathbf{e}_3 + \dots + v^n~\mathbf{e}_n
 .

Če spremenimo bazne vektorje v \{\mathbf{g}_1, \mathbf{g}_2, \mathbf{g}_3, \dots, \mathbf{g}_n\} potem vektor \mathbf{v} v novi bazi opisuje isti vektor


  \mathbf{v} = \hat{v}^1~\mathbf{g}_1 + \hat{v}^2~\mathbf{g}_2 + \hat{v}^3~\mathbf{g}_3 + \dots + \hat{v}^n~\mathbf{g}_n
 ,

kjer so

  • \hat{v}^i komponente vektorja v novi bazi.

Torej je vsota, ki opisuje vektor \mathbf{v} v novi bazi je sestavljena iz drugih vektorjev, vsota pa ostane enaka.

Kovariantna in kontravariantna baza[uredi | uredi kodo]

Bazne vektorje lahko povežemo s koordinatnim sistemom na dva načina

  • lahko jih postavimo tako, da so kolinearni z osmi
  • lahko jih postavimo tako, da so pravokotni (normalni) na koordinatne ploskve.

V prvem primeru se vektorji transformirajo kot kovariantni vektorji. V drugem primeru se bazni vektorji transformirajo kot kontravariantni vektorji. Pri označevanju teh dveh vrst baznih vektorjev uporabljamo dva načina. Kovariantne vektorje označujemo s spodnjimi oznakami, kontravariantne vektorje pa označujemo z zgornjimi oznakami. To pomeni, da v odvisnosti od tega kako jih zgradimo, imamo za splošne krivočrtne koordinate dve skupini baznih vektorjev v vsaki točki: \{\mathbf{g}_1,\mathbf{g}_2,\mathbf{g}_3\} za kovariantno bazo in \{\mathbf{g}^1,\mathbf{g}^2,\mathbf{g}^3\} za kontravariantno bazo.

Vektor  \mathbf{v} lahko izrazimo v katerikoli bazi


   \mathbf{v} = v^1\mathbf{g}_1 + v^2\mathbf{g}_2 + v^3\mathbf{g}_3 = v_1\mathbf{g}^1 + v_2\mathbf{g}^2 + v_3\mathbf{g}^3
 .

Pri tem je lahko vektor 
   \mathbf{v} kovarianten ali kontravarianten v odvisnosti od vrste njegovih komponent.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]