Kaprekarjevo število

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Kaprékarjevo števílo je v matematiki pozitivno celo število, za katerega lahko v dani osnovi števke njegovega kvadrata razdelimo na dve števili z enakim številom števk, kot jih ima število, pri čemer je vsota novih števil enaka številu samemu. Pri tem velja:

 k^{2} = l \, 10^{n} + r \,\! \; ,
 k = l + r; \quad n \ge 1, l \ge 1, 0 < r < 10^{n} \,\! \; .

Število 1 je Kaprekarjevo po dogovoru, saj velja:

 1^{2} = 0 \cdot 10^{n} + 1, \quad 1 = 0+1 \,\! \; .
    9:    9^{2}  = 81;       8 +    1 =    9 \,\!
   45:   45^{2} = 2025;     20 +   25 =   45 \,\!
   55:   55^{2} = 3025;     30 +   25 =   55 \,\!
   99:   99^{2} = 9801;     98 +    1 =   99 \,\!
  297:  297^{2} = 88209;    88 +  209 =  297 \,\!
  703:  703^{2} = 494209;  494 +  209 =  703 \,\!
  999:  999^{2} = 998001;  998 +    1 =  999 \,\!
 2223: 2223^{2} = 4941729; 494 + 1729 = 2223 \,\!

Prva Kaprekarjeva števila so (OEIS A006886):

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272,...

Kaprekarjeva števila se imenujejo po indijskem matematiku Šriju Datatreju Ramačandru Kaprekarju (1905-1986), ki jih je predstavil leta 1980.

Vsako število oblike 10n za n ≥ 1 je Kaprekarjevo, saj velja:

 \left( 10^{2} - 1\right) ^{2} = \left( 10^{n} - 2\right ) 10^{n} + 1 \; ,
 10^{n} - 1 = \left( 10^{n} - 2\right ) + 1 \; .

Vidi se, da število 0 ni Kaprekarjevo.

Druge značilnosti[uredi | uredi kodo]

Soda popolna števila so Kaprekarjeva v dvojiškem sistemu.

Na primer:

 6_{[2]} = 110 \; ,
 110^{2} = 100100, \quad 
10 + 0100 = 110 \; ,

ali:

 496_{[2]} = 111110000 \; ,
 111110000^{2} = 111100000100000000, \quad 
11110000 + 0100000000 = 111110000

Tudi za druge potence obstajajo Kaprekarjeva števila.