Dualni kvaternion

Dualni kvaternion je v teoriji kolobarjev sestavni del nekomutativnega in neasociativnega kolobarja. Dualni kvaternioni so zgrajeni na podoben način kot običajni kvaternioni. Od njih se razlikujejo samo v tem, da jih namesto realnih števil kot koeficienti sestavljajo dualna števila.

Dualni kvaternion lahko prikažemo v obliki

$q = q_0 + \epsilon q_{\epsilon} \,$

kjer je

• $q_0 \,$ običajni kvaternion
• $\epsilon \,$ dualna enota za katero velja $\epsilon^2 = 0 \,$ (nilpotentnost).

Operacije s dualnimi kvaternioni

Seštevanje

Seštevanje dualnih kvaternionov je enostavno seštevanje njegovih koeficientov.

Množenje

Dualne kvaternione množimo tako, da množimo njegove komponente.

Imamo dva dualna kvaterniona:

$Q_1 = r_1 + \varepsilon d_1$

in

$Q_2 = r_2 + \varepsilon d_2$.

Njun zmnožek je enak: $Q_1 * Q_2 = r_1 * r_2 + \varepsilon (r_1 * d_2 + d_1 * r_2)\,\!$.

Pri tem pa ne nastopa $d_1 * d_2 \,$, ker je $\epsilon^2 = 0 \,$.

To nam da naslednjo tabelo za množenje:

$Q_1 * Q_2\,\!$	$Q_2.1\,\!$	$Q_2.i\,\!$	$Q_2.j\,\!$	$Q_2.k\,\!$	$Q_2.\varepsilon$	$Q_2.\varepsilon i$	$Q_2.\varepsilon j$	$Q_2.\varepsilon k$
$Q_1.1\,\!$	1	i	j	k	$\varepsilon$	$\varepsilon i$	$\varepsilon j$	$\varepsilon k$
$Q_1.i\,\!$	i	-1	k	-j	$\varepsilon i$	$-\varepsilon$	$\varepsilon k$	$-\varepsilon j$
$Q_1.j\,\!$	j	-k	-1	i	$\varepsilon j$	$-\varepsilon k$	$-\varepsilon$	$\varepsilon i$
$Q_1.k\,\!$	k	j	-i	-1	$\varepsilon k$	$\varepsilon j$	$-\varepsilon i$	$-\varepsilon$
$Q_1.\varepsilon$	$\varepsilon$	$\varepsilon i$	$\varepsilon j$	$\varepsilon k$	0	0	0	0
$Q_1.\varepsilon i$	$\varepsilon i$	$-\varepsilon$	$\varepsilon k$	$-\varepsilon j$	0	0	0	0
$Q_1.\varepsilon j$	$\varepsilon j$	$-\varepsilon k$	$-\varepsilon$	$\varepsilon i$	0	0	0	0
$Q_1.\varepsilon k$	$\varepsilon k$	$\varepsilon j$	$-\varepsilon i$	$-\varepsilon$	0	0	0	0

.

Konjugirani dualni kvaternioni

Dualni kvaternioni imajo tri konjugirane oblike:

$q^\dagger = r^* + \varepsilon d^*$

$q_\varepsilon = r - \varepsilon d$

$q^\dagger_\varepsilon = r^* - \varepsilon d^* \,$

kjer je

• $q \,$ dualni kvaternion
• $r \,$ realni del kvaterniona
• $d \,$ dualni del

Obratna vrednost dualnega kvaterniona

Podobno kot pri običajnem kvaternionu, se obratna vrednost izračuna po obrazcu: $\hat Q^{-1} = {\hat Q^\dagger \over {\hat Q^2}} \,$.

kjer je

• z $\hat Q\,$ označen dualni kvaternion.

Norma dualnega kvaterniona

$\|\hat Q\| = \sqrt{\hat Q\hat Q^\dagger} = \sqrt{\hat Q^\dagger \hat Q} \,$

Zunanje povezave

• Dualni kvaternioni na Euclidian Space (v angleščini)
• William Kingdom Clifford (v angleščini)
• Funkcije dualnih kvaternionov (v angleščini)