Comptonova valovna dolžina

Comptonova valovna dolžina (oznaka $\lambda_{\rm C}\,$) je kvantnomehanska značilnost delca in fizikalna konstanta. Vpeljal jo je Arthur Holly Compton pri svojem opisu sipanja fotonov z elektroni (Comptonov pojav). Comptonova valovna dolžina delca je enaka valovni dolžini fotona, katerega energija je enaka energiji mirovne mase delca. Podana je z enačbo:

$\lambda_{\rm C} = \frac{h}{mc} \!\, ,$

kjer je:

• $h\,$ Planckova konstanta,
• $m\,$ mirovna masa delca,
• $c\,$ hitrost svetlobe v vakuumu.

Vrednost CODATA 2006 za Comptonovo valovno dolžino elektrona (oznaki $\lambda_{\rm C}^{\rm e}\,$ ali $\lambda_{\rm e}\,$) je 2,4263102175(33) · 10^-12 m. Drugi osnovni delci imajo različno Comptonovo valovno dolžino.

Reducirana Comptonova valovna dolžina

Manjša reducirana Comptonova valovna dolžina je enaka:

$\overline{\lambda}_{\rm C} = \frac{\lambda_{\rm C}}{2\pi} = \frac{\hbar}{mc} \!\, .$

Reducirana Comptonova valovna dolžina je naravna predstavitev mase na kvantnem nivoju. Kot taka se pojavlja v mnogih osnovnih enačbah kvantne mehanike. Pojavlja se v relativistični Klein-Gordonovi enačbi za prosti delec:

$\square\ \psi = \frac{1}{\overline{\lambda}_{\rm C}^{2}} \psi \!\, .$

Pojavlja se v Diracovi enačbi:

$-i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} \psi + \frac{1}{\overline{\lambda}_{\rm C}} \psi = 0 \!\, ,$

kar je kovariantna oblika preko Einsteinovega zapisa.

Reducirana Comptonova valovna dolžina se pojavlja tudi v Schrödingerjevi enačbi, čeprav je v običajni predstavitvi enačbe zakrita. Tradicionalna oblika Schrödingerjeve enačbe za elektron v atomu, podobnem vodikovem, je:

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}\psi -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Ze_{0}^{2}}{r} \psi \!\, .$

Če jo delimo s $\hbar c\,$ in jo zapišemo s konstanto fine strukture, velja:

$\frac{i}{c}\frac{\partial}{\partial t}\psi=-\frac{\overline{\lambda}_{\rm C}}{2} \nabla^{2}\psi - \frac{\alpha Z}{r} \psi \!\, .$

Povezava z drugimi konstantami

Reducirana Comptonova valovna dolžina elektrona spada med trojico podobnih enot za dolžino. Drugi dve sta Bohrov polmer $r_{\rm B}\,$ in klasični polmer elektrona $r_{\rm e}\,$. Reducirana Comptonova valovna dolžina elektrona je definirana z mirovno maso elektrona $m_{\rm e}\,$, Planckovo konstanto $\hbar\,$ in hitrostjo svetlobe $c\,$. Bohrov polmer je definiran z $m_{\rm e}\,$, $\hbar\,$ in osnovnim nabojem $e_{0}\,$. Klasični polmer elektrona je definiran z $m_{\rm e}\,$, $c\,$ in $e_{0}\,$. Vsako od teh treh dolžin lahko zapišemo z drugima dvema s pomočjo konstante fine strukture $\alpha\,$:

$r_{\rm e} = \alpha \overline{\lambda}_{\rm e} = \alpha^{2} r_{\rm B} \!\, .$

Nereducirana Comptonova valovna dolžina elektrona je povezana z Rydbergovo konstanto:

$2 R_{\infty} = \frac{\alpha^{2}}{\lambda_{\rm e}} \!\, .$