Carlemanova matrika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Carlemanova matrika je matrika, ki se uporablja za pretvorbo kompozituma funkcij v množenje matrik. Druga področja uporabe so še v teoriji iteracij in verjetnosti ter v Markovskih verigah.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Calermanova matrika funkcije  f(x) \, je določena z

M[f]_{jk} = \frac{1}{k!}\left[\frac{d^k}{dx^k} (f(x))^j \right]_{x=0}

pri tem pa velja

(f(x))^j = \sum_{k=0}^{\infty} M[f]_{jk} x^k.

Tako lahko zapišemo določanje funkcije  f(x) \, kot

f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} M[f]_{1,k} x^k.,

kar pa je skalarni produkt prve vrstice matrike  M[f] z vektorjem \left[1,x,x^2,x^3,...\right]^\tau.

Množenje z drugo vrstico matrike  M[f] nam da drugo potenco funkcije  f(x) \,

f(x)^2 = \sum_{k=0}^{\infty} M[f]_{2,k} x^k..

Lahko pa določimo tudi ničelno potenco funkcije  f(x) \,. V matriki  M[f] predpostavimo, da vrstica 0 vsebuje ničle povsod, razen na prvem mestu. To nam da

f(x)^0 = 1 = \sum_{k=0}^{\infty} M[f]_{0,k} x^k = 1+ \sum_{k=1}^{\infty} 0* x^k

Skalarni produkt matrike  M[f] z vektorjem \left[1,x,x^2,x^3,...\right]^\tau nam da vektor

 M[f] * \left[ 1,x,x^2,x^3,...\right]^\tau = \left[ 1,f(x),(f(x))^2,(f(x))^3,...\right]^\tau \,.

Bellova matrika[uredi | uredi kodo]

Bellova matrika funkcije  f(x) \, je določena kot

B[f]_{jk} = \frac{1}{j!}\left[\frac{d^j}{dx^j} (f(x))^k \right]_{x=0}

pri tem pa velja

(f(x))^k = \sum_{j=0}^{\infty} B[f]_{jk} x^j

To pa pomeni, da je Bellova matrika transponirana Carlemanova matrika.

Primeri[uredi | uredi kodo]

Carlemanova matrika konstante je:

M[a] = \left(\begin{array}{cccc}
1&0&0& \cdots \\
a&0&0& \cdots \\
a^2&0&0& \cdots \\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{array}\right)

Carlemanova matrika identične funkcije je:

M_x[x] = \left(\begin{array}{cccc}
1&0&0& \cdots \\
0&1&0& \cdots \\
0&0&1& \cdots \\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{array}\right)

Carlemanova matrika dodane konstante je:

M_x[a + x] = \left(\begin{array}{cccc}
1&0&0& \cdots \\
a&1&0& \cdots \\
a^2&2a&1& \cdots \\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{array}\right)

Carlemanova matrika zmnožka s konstanto je:

M_x[cx] = \left(\begin{array}{cccc}
1&0&0& \cdots \\
0&c&0& \cdots \\
0&0&c^2& \cdots \\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{array}\right)

Carlemanova matrika linearne funkcije je:

M_x[a + cx] = \left(\begin{array}{cccc}
1&0&0& \cdots \\
a&c&0& \cdots \\
a^2&2ac&c^2& \cdots \\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{array}\right)

Carlemanova matrika funkcije f(x) = \sum_{k=1}^{\infty}f_k x^k je:

M[f] = \left(\begin{array}{cccc}
1&0&0& \cdots \\
0&f_1&f_2& \cdots \\
0&0&f_1^2& \cdots \\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{array}\right)

Carlemanova matrika funkcije f(x) = \sum_{k=0}^{\infty}f_k x^k je:

M[f] = \left(\begin{array}{cccc}
1&0&0& \cdots \\
f_0&f_1&f_2& \cdots \\
f_0^2&2f_0f_1&f_1^2& \cdots \\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{array}\right).

Lastnosti matrike[uredi | uredi kodo]

Obe matriki (Carlemanova in Bellova) zadoščata osnovnima odnosoma:

  • M[f \circ g] = M[f]M[g]
  • B[f \circ g] = B[g]B[f]

kar dela Carlemanovo matriko  M \, kot neposredno predstavitev funkcije f(x) \, in Bellovo matriko  B \, kot nasprotno predstavitev funkcije f(x). V zgornjih izrazih pomeni f \circ g kompozitum funkcij f(g(x)).

Razen tega veljata še naslednji lastnosti:

  • \,M[f^n] = M[f]^n

kjer je

\,f^n iteracija funkcije
  • \,M[f^{-1}] = M[f]^{-1}

kjer je

\,f^{-1} inverzna funkcija (če je Calermanova matrika obrnljiva).