Algebra z deljenjem

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Algebra z deljenjem je v abstraktni algebri algebra nad obsegom v kateri je možno tudi deljenje. To lahko povemo tudi, da je algebra z deljenjem vektorski prostor v katerem lahko množimo in delimo.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Predpostavimo, da je algebra  D \, algebra nad obsegom in da nima ničelnega elementa. Algebra  D \, je algebra z deljenjem, če za katerikoli element  a \, v  D  \, in element  b \,, ki je tudi v D \,, obstoja točno samo en element  x \, v  D \, tako, da velja  a = bx \,, in točno en element  y \, v  D \,, tako, da je  a = yb \,.

Za asociativne algebre lahko to definicijo poenostavimo na naslednji način: asociativna algebra je algebra z deljenjem samo, če in samo če ima nevtralni element  1 \ne 0 \, in vsak neničelen element ima multiplikativni obratni element to je element  x \, za katerega velja  ax =xa = 1 \,.

Zgledi[uredi | uredi kodo]

Najbolj znan zgled asociativne algebre z deljenjem so končnorazsežna realna števila. To je algebra nad obsegom  \mathbb {R} \, realnih števil, ki je končnorazsežen kot vektorski prostor nad realnimi števili. Frobeniusov izrek trdi, da so glede na morfizem štiri takšne algebre: realna števila (razsežnost 1), kompleksna števila (razsežnost 2), kvaternioni (razsežnost 4) ter oktonioni (razsežnost 8).

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]