Solenoidalno polje

Zgled grafa solenoidalnega vektorskega polja ${\vec {\mathbf {v} }}(x,y)=(y,-x)\!\,$

Solenoidalno pólje ali tudi cevasto polje in brezizvirno polje je v vektorski analizi vektorsko polje z divergenco enako nič v vseh točkah polja. Takšno polje nima izvirov ali ponorov.

Če je $\mathbf {\vec {w}} (\mathbf {\vec {r}} )\!\,$ gostota vrtincev solenoidalnega polja ${\vec {\mathbf {v} }}\!\,$, je:

$\nabla \cdot {\vec {\mathbf {v} }}=0\!\,,$

$\nabla \times {\vec {\mathbf {v} }}={\vec {\mathbf {w} }}({\vec {\mathbf {r} }})\!\,.$

Gostota vrtincev ne more biti poljubno vektorsko polje, ker mora zadoščati pogoju $\nabla \cdot {\vec {\mathbf {w} }}=0\!\,$.

Če se vzame:

$\mathbf {\vec {v}} (\mathbf {\vec {r}} )=\nabla \times \mathbf {\vec {A}} (\mathbf {\vec {r}} )\!\,,$

$\nabla \cdot \mathbf {\vec {A}} =0\!\,,$

velja:

$\nabla \times \nabla \times \mathbf {\vec {A}} =\mathbf {\vec {w}} \!\,,$

in zaradi:

($\nabla \times \nabla \times \mathbf {\vec {v}} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {\vec {v}} )-\nabla ^{2}\mathbf {\vec {v}} )\!\,,$

$\nabla \nabla \cdot \mathbf {\vec {A}} -\nabla ^{2}\mathbf {\vec {A}} =\mathbf {\vec {w}} \!\,,$

in zato:

$\nabla ^{2}\mathbf {\vec {A}} =-\mathbf {\vec {w}} \!\,.$

Vekotorsko polje $\mathbf {\vec {A}} (\mathbf {\vec {r}} )$ formalno zadosti Poissonovi diferencialni enačbi, podobno kot potencial nevrtinčastega polja, zato se imenuje vektorski potencial vektorskega polja. Zveza med poljem, vektorskim potencialom in gostoto vrtincev je:

$\mathbf {\vec {v}} =\nabla \times \mathbf {\vec {A}} \!\,$

in:

$\mathbf {\vec {A}} ={\frac {1}{4\pi }}\iiint {\frac {\mathbf {\vec {w}} (\mathbf {\vec {r}} ^{*})}{|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} ^{*}|}}\,\mathrm {d} v(\mathbf {\vec {r}} ^{*})\!\,,$

kjer integriranje poteka po celotnem prostoru.

Divergenčni izrek da enakovredno integralsko definicijo solenoidalnega polja: za poljubno sklenjeno ploskev mora skupni pretok skozi njo biti enak nič:

$\oiint \mathbf {\vec {v}} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\vec {S}} =0\!\,$

kjer je $\mathrm {d} \mathbf {\vec {S}} \!\,$ navzven usmerjena normala na vsak ploskovni element.

Etimologija

Beseda solenoidalen izvira iz grške besede za solenoid – σωληνοειδές (sōlēnoeidēs), kar pomeni cevast, v obliki cevi, kot v cevi, ki vsebuje besedo σωλην (sōlēn) – cev. V tem kontekstu to pomeni fiksiranje prostornine za model tekoče kapljevine, odsotnost virov in ponorov (kot pri pretoku v cevi, kjer se nova kapljevina niti ne pojavi niti ne izgine).

Zgledi

• gostota magnetnega polja $\mathbf {\vec {B}} \!\,$ (glej Gaussov zakon za magnetno polje),
• hitrostno polje toka nestisljive tekočine, sledi iz kontinuitetne enačbe pri $\partial \rho /\partial t=0\!\,$,
• vrtinčno polje,
• jakost električnega polja $\mathbf {\vec {E}} \!\,$ v nevtralnih območjih, kjer ni virov (električnih nabojev, $\rho _{e}=0\!\,$). Da je $\mathbf {\vec {E}} \!\,$ solenoidalno polje, je potrebna odsotnost (ali medsebojna kompenzacija) prostih in vezanih električnih nabojev. Da je gostota električnega polja $\mathbf {\vec {D}} \!\,$ solenoidalno polje, pa zadostuje odsotnost samo prostih električnih nabojev.
• gostota električnega toka $\mathbf {\vec {j}} \!\,$, kje se gostota naboja ne spreminja $\partial \rho _{e}/\partial t=0\!\,$, kar izhaja iz kontinuitetne enačbe,
• magnetni vektorski potencial $\mathbf {\vec {A}} \!\,$ v Coulombovi umeritvi.

Glej tudi

• funkcija toka
• potencialno vektorsko polje (konservativno vektorsko polje)
• Helmholtzev dekompozicijski izrek

Viri

• Ančikov, A. M. (1988), Основы векторного и тензорного анализа / под ред. проф. В. Г. Кайгородова, 420008, Kazan, ulica Lenina 18: Izdatelьstvo Kazanskogo univerziteta, str. 130{{citat}}: Vzdrževanje CS1: lokacija (povezava)
• Bronštejn, Ilja Nikolajevič; Semendjajev, Konstantin Aldolfovič (1963), Matematični priročnik, Ljubljana: Tehniška založba Slovenije, str. 525, COBISS 191797

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »SolenoidalField.html«. MathWorld. Pridobljeno 18. oktobra 2023. (angleško)