Solenoidalno polje

Solenoidealno polje ali tudi cevasto polje je vektorsko polje z divergenco nič. Takšno polje nima izvirov.

Če je ${\vec {w}}({\vec {r}})$ gostota vrtincev solenoidealnega polja ${\vec {V}}$ je:

$\nabla \cdot {\vec {V}}=0$, $\nabla \times {\vec {V}}={\vec {w}}({\vec {r}})$

Gostota vrtincev ne more biti poljubno vektorsko polje, ker mora zadoščati pogoju $\nabla \cdot {\vec {w}}=0$.

Če vzamemo

${\vec {V}}({\vec {r}})=\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}})$, $\nabla \cdot {\vec {A}}=0$, je $\nabla \times \nabla \times {\vec {A}}={\vec {w}}$

in zaradi ($\nabla \times \nabla \times {\vec {V}}=\nabla (\nabla \cdot {\vec {V}})-\nabla ^{2}{\vec {V}})$

$\nabla \nabla \cdot {\vec {A}}-\nabla ^{2}{\vec {A}}={\vec {w}}$, in zato $\nabla ^{2}{\vec {A}}=-{\vec {w}}$

Vekotorsko polje ${\vec {A}}({\vec {r}})$ formalno zadosti Poissonovi diferencialni enačbi, podobno kot potencial nevrtinčastega polja, zato ga imenujemo vektorski potencial vektorskega polja. Zveza med poljem, vektorskim potencialom in gostoto vrtincev je:

${\vec {V}}=\nabla \times {\vec {A}}$ in ${\vec {A}}={\frac {1}{4\pi }}\iiint {\frac {{\vec {w}}({\vec {r}}^{*})}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{*}|}}dv({\vec {r}}^{*})$

kjer integriranje poteka po celotnem prostoru.

Vir: Bronštejn, Matematični priročnik, Tehnična založba slovenije, stran 525.