Solenoidalno polje

Solenoidalno pólje ali tudi cevasto polje^[1] in brezizvirno polje^[a] je v vektorski analizi vektorsko polje z divergenco enako nič v vseh točkah polja. Takšno polje nima izvirov ali ponorov.^[b]

Če je $\mathbf {\vec {w}} (\mathbf {\vec {r}} )\!\,$ gostota vrtincev solenoidalnega polja ${\vec {\mathbf {v} }}\!\,$ , je:

\nabla \cdot {\vec {\mathbf {v} }}=0\!\,,

\nabla \times {\vec {\mathbf {v} }}={\vec {\mathbf {w} }}({\vec {\mathbf {r} }})\!\,.

Gostota vrtincev ne more biti poljubno vektorsko polje, ker mora zadoščati pogoju $\nabla \cdot {\vec {\mathbf {w} }}=0\!\,$ .

Če se vzame:

\mathbf {\vec {v}} (\mathbf {\vec {r}} )=\nabla \times \mathbf {\vec {A}} (\mathbf {\vec {r}} )\!\,,

\nabla \cdot \mathbf {\vec {A}} =0\!\,,

velja:

\nabla \times \nabla \times \mathbf {\vec {A}} =\mathbf {\vec {w}} \!\,,

in zaradi:

(

\nabla \times \nabla \times \mathbf {\vec {v}} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {\vec {v}} )-\nabla ^{2}\mathbf {\vec {v}} )\!\,,

\nabla \nabla \cdot \mathbf {\vec {A}} -\nabla ^{2}\mathbf {\vec {A}} =\mathbf {\vec {w}} \!\,,

in zato:

\nabla ^{2}\mathbf {\vec {A}} =-\mathbf {\vec {w}} \!\,.

Vekotorsko polje $\mathbf {\vec {A}} (\mathbf {\vec {r}} )$ formalno zadosti Poissonovi diferencialni enačbi, podobno kot potencial nevrtinčastega polja, zato se imenuje vektorski potencial vektorskega polja. Zveza med poljem, vektorskim potencialom in gostoto vrtincev je:

\mathbf {\vec {v}} =\nabla \times \mathbf {\vec {A}} \!\,

in:

\mathbf {\vec {A}} ={\frac {1}{4\pi }}\iiint {\frac {\mathbf {\vec {w}} (\mathbf {\vec {r}} ^{*})}{|\mathbf {\vec {r}} -\mathbf {\vec {r}} ^{*}|}}\,\mathrm {d} v(\mathbf {\vec {r}} ^{*})\!\,,

kjer integriranje poteka po celotnem prostoru.

Divergenčni izrek da enakovredno integralsko definicijo solenoidalnega polja: za poljubno sklenjeno ploskev mora skupni pretok skozi njo biti enak nič:

\oiint \mathbf {\vec {v}} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\vec {S}} =0\!\,

kjer je $\mathrm {d} \mathbf {\vec {S}} \!\,$ navzven usmerjena normala na vsak ploskovni element.

Etimologija[uredi | uredi kodo]

Beseda solenoidalen izvira iz grške besede za solenoid – σωληνοειδές (sōlēnoeidēs), kar pomeni cevast, v obliki cevi, kot v cevi, ki vsebuje besedo σωλην (sōlēn) – cev. V tem kontekstu to pomeni fiksiranje prostornine za model tekoče kapljevine, odsotnost virov in ponorov (kot pri pretoku v cevi, kjer se nova kapljevina niti ne pojavi niti ne izgine).

Zgledi[uredi | uredi kodo]

gostota magnetnega polja $\mathbf {\vec {B}} \!\,$ (glej Gaussov zakon za magnetno polje),
hitrostno polje toka nestisljive tekočine, sledi iz kontinuitetne enačbe pri $\partial \rho /\partial t=0\!\,$ ,
vrtinčno polje,
jakost električnega polja $\mathbf {\vec {E}} \!\,$ v nevtralnih območjih, kjer ni virov (električnih nabojev, $\rho _{e}=0\!\,$ ). Da je $\mathbf {\vec {E}} \!\,$ solenoidalno polje, je potrebna odsotnost (ali medsebojna kompenzacija) prostih in vezanih električnih nabojev. Da je gostota električnega polja $\mathbf {\vec {D}} \!\,$ solenoidalno polje, pa zadostuje odsotnost samo prostih električnih nabojev.
gostota električnega toka $\mathbf {\vec {j}} \!\,$ , kje se gostota naboja ne spreminja $\partial \rho _{e}/\partial t=0\!\,$ , kar izhaja iz kontinuitetne enačbe,
magnetni vektorski potencial $\mathbf {\vec {A}} \!\,$ v Coulombovi umeritvi.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Opombe[uredi | uredi kodo]

↑ Tudi nestisljivo vektorsko polje, brezdivergenčno vektorsko polje, prečno (transverzalno) vektorsko polje.
↑ Ta izjava ne pomeni, da morajo biti poljske črte solenoidalnega polja sklenjene, niti da se ne morejo začeti ali končati. Za podrobno razpravo o temi glej Slepian, J. (1951), »Lines of Force in Electric and Magnetic Fields«, American Journal of Physics, 19: 87–90 in Zilberti, L (2017), »The Misconception of Closed Magnetic Flux Lines«, IEEE Magnetics Letters, 8 (art. 1306005)