Algebrska struktura: Razlika med redakcijama
{{normativna kontrola}} |
m m/dp/wiki/slog |
||
Vrstica 1: | Vrstica 1: | ||
'''Algébrska struktúra''' (zastarelo '''algebrajska''' ali '''algebra(j)ična struktura''') je v [[matematika|matematiki]] ime za [[množica|množico]] skupaj z (vsaj eno) [[računska operacija|računsko operacijo]], ki je definirana za elemente te množice. Algebrske strukture preučuje [[abstraktna algebra]]. |
'''Algébrska struktúra''' (zastarelo '''algebrajska''' ali '''algebra(j)ična struktura''') je v [[matematika|matematiki]] ime za [[množica|množico]] skupaj z (vsaj eno) [[računska operacija|računsko operacijo]], ki je definirana za elemente te množice. Algebrske strukture preučuje [[abstraktna algebra]]. |
||
Temelj algebrske strukture se skriva v nekaterih osnovnih |
Temelj algebrske strukture se skriva v nekaterih osnovnih značilnostih, ki veljajo za določeno računsko operacijo. Te značilnosti se imenujejo tudi [[aksiom]]i algebrske strukture. Algebra v nadaljevanju preučuje značilnosti, ki so posledice aksiomov. Bistvo takega dela je splošnost: če se ugotovi, da ima neka struktura določene značilnosti, se lahko sklepa, da te značilnosti veljajo v splošnem za vsako množico, ki ima takšno strukturo. |
||
== Najpomembnejše algebrske strukture == |
== Najpomembnejše algebrske strukture == |
||
=== Grupa === |
=== Grupa === |
||
{{glavni| |
{{glavni|grupa}} |
||
Najosnovnejša algebrska struktura je [[ |
Najosnovnejša algebrska struktura je [[grupa]]. To je množica ''M'', v kateri se lahko brez omejitev izvaja neko računsko operacijo (tj: za poljubna dva elementa iz ''M'' je tudi rezultat operacije vedno element množice ''M''). Operacijo se v splošnem piše z znakom *. Za to operacijo morajo veljati naslednji aksiomi (za vsak ''a'', ''b'', ''c'' iz ''M''): |
||
*operacija je [[asociativnost|asociativna]]: ''a'' * (''b'' * ''c'') = (''a'' * ''b'') * ''c'' |
* operacija je [[asociativnost|asociativna]]: ''a'' * (''b'' * ''c'') = (''a'' * ''b'') * ''c'' |
||
*v množici obstaja [[nevtralni element]] ''e'', tako da velja: ''a'' * ''e'' = ''e'' * ''a'' = ''a'' |
* v množici obstaja [[nevtralni element]] ''e'', tako da velja: ''a'' * ''e'' = ''e'' * ''a'' = ''a'' |
||
*vsak element ''a'' ima svoj [[inverzni element]] ''a''<sup>−1</sup>, tako da velja: ''a'' * ''a''<sup>−1</sup> = ''a''<sup>−1</sup> * ''a'' = ''e'' |
* vsak element ''a'' ima svoj [[inverzni element]] ''a''<sup>−1</sup>, tako da velja: ''a'' * ''a''<sup>−1</sup> = ''a''<sup>−1</sup> * ''a'' = ''e'' |
||
Posebej zanimiv |
Posebej zanimiv zgled grupe je [[Abelova grupa]]. To je grupa v kateri poleg naštetih treh velja še četrti aksiom: |
||
* operacija je [[komutativnost|komutativna]]: ''a'' * ''b'' = ''b'' * ''a'' |
* operacija je [[komutativnost|komutativna]]: ''a'' * ''b'' = ''b'' * ''a'' |
||
Obstaja veliko konkretnih množic, ki imajo strukturo grupe: |
Obstaja veliko konkretnih množic, ki imajo strukturo grupe: |
||
* |
* množica vseh [[celo število|celih števil]] z operacijo [[seštevanje]] je Abelova grupa |
||
* |
* množica vseh [[realno število|realnih števil]] z operacijo [[seštevanje]] je Abelova grupa |
||
* |
* množica vseh od 0 različnih [[realno število|realnih števil]] z operacijo [[množenje]] je Abelova grupa |
||
* |
* množica vseh [[funkcija|funkcij]] z operacijo [[kompozitum]] je grupa, ni pa Abelova grupa. |
||
=== Kolobar in obseg === |
=== Kolobar in obseg === |
||
{{glavni| |
{{glavni|kolobar (algebra)|obseg (algebra)}} |
||
Za abstraktno algebro so še bolj zanimive množice, v katerih sta definirani dve računski operaciji. |
Za abstraktno algebro so še bolj zanimive množice, v katerih sta definirani dve računski operaciji. Ena od operacij se po navadi imenuje seštevanje in se jo označi z znakom +, druga pa se imenuje množenje in se jo označi z znakom '''·''' (ali zaradi splošnosti tudi *). |
||
Táka množica ''K'' se imenuje [[kolobar (algebra)|kolobar]], če je ''K'' za operacijo + [[Abelova grupa]], poleg tega pa za množenje veljata [[asociativnost]]ni in [[distributivnost]]ni zakon. |
|||
Kolobar, ki vsebuje tudi [[nevtralni element]] za množenje, |
Kolobar, ki vsebuje tudi [[nevtralni element]] za množenje, se imenuje ''kolobar z enoto''. Če ima poleg tega vsak element kolobarja (razen elementa 0) svoj [[inverzni element]] za množenje, se taka množica imenuje [[obseg (algebra)|obseg]]. Obseg, v katerem je množenje [[komutativnost|komutativno]], se imenuje ''komutativni obseg'' ali ''polje''. |
||
Znani komutativni obsegi so: |
Znani komutativni obsegi so: |
||
Vrstica 37: | Vrstica 37: | ||
=== Vektorski prostor === |
=== Vektorski prostor === |
||
{{glavni| |
{{glavni|vektorski prostor}} |
||
Nekoliko drugačna struktura z dvema računskima operacijama je [[vektorski prostor]]. Gre za posplošitev množice elementarnih trirazsežnih [[vektor (matematika)|vektorjev)]]. |
Nekoliko drugačna struktura z dvema računskima operacijama je [[vektorski prostor]]. Gre za posplošitev množice elementarnih trirazsežnih [[vektor (matematika)|vektorjev)]]. |
||
Vektorski prostor je množica ''V'', ki je |
Vektorski prostor je množica ''V'', ki je za seštevanje [[Abelova grupa]], druga računska operacija pa ni definirana v tej množici, pač pa povezuje elemente množice ''V'' z elementi nekega komutativnega obsega ''F''. Ta operacija se imenuje ''množenje vektorja s skalárjem'' in mora imeti podobne značilnosti kot ustrezna operacija v množici običajnih vektorjev v ravnini ali v trirazsežnem prostoru. |
||
Zanimive |
Zanimive zglede vektorskih prostorov se najde v množici [[funkcija|funkcij]]. |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
== Glej tudi == |
== Glej tudi == |
||
* [[matematična struktura]] |
* [[matematična struktura]] |
||
* [[teorija kategorij]] |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
{{normativna kontrola}} |
{{normativna kontrola}} |
||
⚫ |
Redakcija: 14:06, 31. januar 2020
Algébrska struktúra (zastarelo algebrajska ali algebra(j)ična struktura) je v matematiki ime za množico skupaj z (vsaj eno) računsko operacijo, ki je definirana za elemente te množice. Algebrske strukture preučuje abstraktna algebra.
Temelj algebrske strukture se skriva v nekaterih osnovnih značilnostih, ki veljajo za določeno računsko operacijo. Te značilnosti se imenujejo tudi aksiomi algebrske strukture. Algebra v nadaljevanju preučuje značilnosti, ki so posledice aksiomov. Bistvo takega dela je splošnost: če se ugotovi, da ima neka struktura določene značilnosti, se lahko sklepa, da te značilnosti veljajo v splošnem za vsako množico, ki ima takšno strukturo.
Najpomembnejše algebrske strukture
Grupa
Najosnovnejša algebrska struktura je grupa. To je množica M, v kateri se lahko brez omejitev izvaja neko računsko operacijo (tj: za poljubna dva elementa iz M je tudi rezultat operacije vedno element množice M). Operacijo se v splošnem piše z znakom *. Za to operacijo morajo veljati naslednji aksiomi (za vsak a, b, c iz M):
- operacija je asociativna: a * (b * c) = (a * b) * c
- v množici obstaja nevtralni element e, tako da velja: a * e = e * a = a
- vsak element a ima svoj inverzni element a−1, tako da velja: a * a−1 = a−1 * a = e
Posebej zanimiv zgled grupe je Abelova grupa. To je grupa v kateri poleg naštetih treh velja še četrti aksiom:
- operacija je komutativna: a * b = b * a
Obstaja veliko konkretnih množic, ki imajo strukturo grupe:
- množica vseh celih števil z operacijo seštevanje je Abelova grupa
- množica vseh realnih števil z operacijo seštevanje je Abelova grupa
- množica vseh od 0 različnih realnih števil z operacijo množenje je Abelova grupa
- množica vseh funkcij z operacijo kompozitum je grupa, ni pa Abelova grupa.
Kolobar in obseg
Za abstraktno algebro so še bolj zanimive množice, v katerih sta definirani dve računski operaciji. Ena od operacij se po navadi imenuje seštevanje in se jo označi z znakom +, druga pa se imenuje množenje in se jo označi z znakom · (ali zaradi splošnosti tudi *).
Táka množica K se imenuje kolobar, če je K za operacijo + Abelova grupa, poleg tega pa za množenje veljata asociativnostni in distributivnostni zakon.
Kolobar, ki vsebuje tudi nevtralni element za množenje, se imenuje kolobar z enoto. Če ima poleg tega vsak element kolobarja (razen elementa 0) svoj inverzni element za množenje, se taka množica imenuje obseg. Obseg, v katerem je množenje komutativno, se imenuje komutativni obseg ali polje.
Znani komutativni obsegi so:
- obseg racionalnih števil
- obseg realnih števil
- obseg kompleksnih števil
Vektorski prostor
Nekoliko drugačna struktura z dvema računskima operacijama je vektorski prostor. Gre za posplošitev množice elementarnih trirazsežnih vektorjev).
Vektorski prostor je množica V, ki je za seštevanje Abelova grupa, druga računska operacija pa ni definirana v tej množici, pač pa povezuje elemente množice V z elementi nekega komutativnega obsega F. Ta operacija se imenuje množenje vektorja s skalárjem in mora imeti podobne značilnosti kot ustrezna operacija v množici običajnih vektorjev v ravnini ali v trirazsežnem prostoru.
Zanimive zglede vektorskih prostorov se najde v množici funkcij.
Glej tudi
Viri
- Prijatelj, Niko (1967), Matematične strukture 2, Knjižnica Sigma (št. 15), Ljubljana: Mladinska knjiga, COBISS 17534209
{{citation}}
: Neveljaven|ref=harv
(pomoč)