Ortonormalnost

Ortonormalnost je v linearni algebri odnos med dvema enotskima vektorjema (njuna dolžina je 1), ki sta med seboj pravokotna ˙(ortogonalna). Skupina vektorjev tvori ortonormalno skupino vektorjev, če so vsi ortogonalni in imajo dolžino 1. Ortonormalna skupina vektorjev tvori bazo, ki jo imenujemo ortonormalna baza.

Definicija

Z ${\mathcal {V}}$ označimo prostor notranjega produkta. Množica vektorjev

$\left\{u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n},\ldots \right\}\in {\mathcal {V}}$

je ortogonalna, če in samo, če velja

$\forall i,j:\langle u_{i},u_{j}\rangle =\delta _{ij}$

kjer je

• $\delta _{ij}\,$ Kroneckerjev delta
• $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ notranji produkt v prostoru ${\mathcal {V}}$.

Lastnosti

• če je $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}\,$ skupina ortonormalnih vektorjev, potem velja

$||a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+\cdots +a_{n}e_{n}||^{2}=|a_{1}|^{2}+|a_{2}|^{2}+\cdots +|a_{n}|^{2}$

• vsaka skupina ortonormiranih vektorjev je linearno neodvisna

Primeri

Dvorazsežni Kartezični koordinatni sistem

Vektorja v katezičnem koordinatnem sistemu naj bosta $u=(x_{1},y_{1})\,$ in $u=(y_{2},y_{2})\,$. Vektorja sta ortonormalna, če zanju velja:

• skalarni produkt je enak 0 ali $u.v=0\,$
• norma vektorja $u\,$ je enaka 1 ali $||u||=1\,$
• norma vektorja $v\,$ je enaka 1 ali $||v||=1\,$.

To lahko zapišemo kot

1. $x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\quad$
2. ${\sqrt {{x_{1}}^{2}+{y_{1}}^{2}}}=1$
3. ${\sqrt {{x_{2}}^{2}+{y_{2}}^{2}}}=1$.

Kar pomeni, da je $r_{1}=r_{2}=1\,$. Torej je dolžina vektorjev enaka 1, ležita pa na enotski krožnici. V ravnini sta ortonormalna vektorja polmera enotske krožnice in tvorita pravi kot. Podobno velja za trirazsežni prostor. Postopek ortogonalizacije množice vektorjev v prostoru notranjih produktov se imenuje Gram-Schmidtov postopek. Običajno se to izvaja v Evklidskem prostoru $R^{n}\,$ z uporabo linearno neodvisnih vektorjev.

Standardna baza

Standardna baza v koordinatnem prostoru $F^{n}\,$ je ${e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}}\,$ kjer je

• $e_{1}=(1,0,\dots ,0)\,$
• $e_{2}=(0,1,\dots ,0)\,$

.

.

• $e_{n}=(0,0,\dots ,1)\,$

Katerakoli dva vektorja $e_{i}\,$ in $e_{j}\,$, ki imata $i\neq j\,$ sta ortogonalna. Vsi vektorji imajo tudi dolžino 1.

Zunanje povezave

• Ortogonalnost (angleško)
• Ortonormalnost na WordiQ (angleško)
• Ortogonalne in ortonormalne baze (angleško)