Obseg (algebra): Razlika med redakcijama
m dp |
Dopolnil, rekatgr |
||
| Vrstica 1: | Vrstica 1: | ||
{{drugipomeni2|obseg}} |
{{drugipomeni2|obseg}} |
||
'''Obsèg''' je v [[abstraktna algebra|abstraktni algebri]] [[ |
'''Obsèg''' je v [[abstraktna algebra|abstraktni algebri]] ime za [[množica|množico]], v kateri je možno brez omejitev seštevati, odštevati, množiti in deliti (razen deljenja z 0), pri tem pa veljajo podobni zakoni kot v množici [[racionalno število|racionalnih]] ali [[realno število|realnih števil]]. Obseg je torej neke vrste posplošitev množice realnih števil. |
||
* 1 ≠ 0 |
|||
* Če je [[število]] ''a'' <math>\in</math> ''O'' in ''a'' ≠ 0, potem obstaja število ''b'' <math>\in</math> ''O'' z ''a'' · ''b'' = 1. (Vsi elementi ''O'' razen 0 imajo multiplikativno obratno vrednost). |
|||
==Definicija== |
|||
Obsegi so pomembni v abstraktni algebri, saj lahko z njimi pravilno posplošimo [[obseg števil|obsege števil]], kot sta množici [[racionalno število|racionalnih števil]] ali [[realno število|realnih števil]]. |
|||
Obseg je množica ''O'' skupaj z dvema [[matematična operacija|računskima operacijama]], ki ju zaradi preprostosti imenujemo [[seštevanje]] in [[množenje]] in ju označujemo z znakoma + (plus) in '''·''' (krat). Za računski operaciji + in '''·''' morajo veljati spodaj navedene lastnosti. [[Odštevanje]] definiramo kot prištevanje nasprotne vrednosti ''a'' − ''b'' = ''a'' + (−''b''), [[deljenje]] pa kot množenje z obratno vrednostjo: ''a'' ''':''' ''b'' = ''a'' '''·''' ''b''<sup>−1</sup>. Za ti dve operaciji ne zahtevamo dodatnih lastnosti. |
|||
Tako opremljeno množico označimo kot (''O'', +, '''·''') |
|||
Z obsegi lahko, na primer, določimo [[vektor (matematika)|vektorje]] in [[matrika|matrike]], dve [[matična struktura|strukturi]] v [[linearna algebra|linearni algebri]], katerih elementi so lahko elementi poljubnega polja. [[Galoisova teorija]] raziskuje simetrijo enačb z načini, s katerimi so obsegi vloženi drugi v drugih. |
|||
===Kratka definicija=== |
|||
{{math-stub}} |
|||
Obseg je [[množica]] (''O'', +, '''·''') v kateri velja: |
|||
* (''O'', +, '''·''') je [[kolobar (algebra)|kolobar]] |
|||
| ⚫ | |||
* obstaja [[nevtralni element]] za množenje, ki ga označimo 1 ([[enota]]), in je različen od nevtralnega elementa za seštevanje (0): |
|||
:1 '''·''' ''a'' = ''a'' '''·''' 1 = ''a'' |
|||
* za vsak od 0 različen element ''a'' obstaja inverzni element ''a''<sup>−1</sup>, tako da velja: |
|||
:''a'' '''·''' ''a''<sup>−1</sup> = ''a''<sup>−1</sup> '''·''' ''a'' = 1 |
|||
===Daljša definicija=== |
|||
Obseg je [[množica]] (''O'', +, '''·''') v kateri velja (za poljubne elemente ''a'', ''b'', ''c''): |
|||
* [[komutativnost]] za seštevanje: ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a'' |
|||
* [[asociativnost]] za seštevanje: ''a'' + (''b'' + ''c'') = (''a'' + ''b'') + ''c'' |
|||
* obstaja [[nevtralni element]] za seštevanje (označimo ga z oznako 0): ''a'' + 0 = 0 + ''a'' = ''a'' |
|||
* poljubni element ''a'' ima [[nasprotni element]] −''a'', tako da velja: ''a'' + (−''a'') = (−''a'') + ''a'' = 0 |
|||
* [[asociativnost]] za množenje: ''a'' '''·''' (''b'' '''·''' ''c'') = (''a'' '''·''' ''b'') '''·''' ''c'' |
|||
* [[distributivnost]] (z leve in z desne strani), ki povezuje seštevanje in množenje: |
|||
:''a'' '''·''' (''b'' + ''c'') = (''a'' '''·''' ''b'') + (''a'' '''·''' ''c'') |
|||
:(''a'' + ''b'') '''·''' ''c'' = (''a'' '''·''' ''c'') + (''b'' '''·''' ''c'') |
|||
* obstaja [[nevtralni element]] za množenje, ki ga označimo 1 ([[enota]]), in je različen od nevtralnega elementa za seštevanje (0): |
|||
:1 '''·''' ''a'' = ''a'' '''·''' 1 = ''a'' |
|||
* za vsak od 0 različen element ''a'' obstaja [[inverzni element]] ''a''<sup>−1</sup>, tako da velja: |
|||
:''a'' '''·''' ''a''<sup>−1</sup> = ''a''<sup>−1</sup> '''·''' ''a'' = 1 |
|||
===Vrste obsegov=== |
|||
Med zgoraj napisanimi zahtevami ni [[komutativnost]]i za množenje. Če v nekem obsegu velja tudi komutativnost množenja (''a'' '''·''' ''b'' = ''b'' '''·''' ''a''), potem je to ''komutativni obseg''. Nekateri avtorji za ''komutativni obseg'' uporabljajo ime '''polje''', a to poimenovanje v slovenščini ni splošno razširjeno. |
|||
== Zgledi == |
|||
Množica [[racionalna števila|racionalnih števil]] z operacijama [[seštevanje|seštevanja]] in [[množenje|množenja]] ('''Q''', +, '''·''') je komutativni obseg. Isto velja za množico [[realna števila|realnih števil]], pa tudi za množico [[kompleksna števila|kompleksnih števil]]. |
|||
Tudi množica [[racionalna funkcija|racionalnih funkcij]] z operacijama [[seštevanje|seštevanja]] in [[množenje|množenja]] je komutativni obseg. |
|||
Množica [[matrika|matrik]] dimenzije ''n''×''n'' na splošno ni obseg. Če pa vzamemo samo ''obrnljive'' matrike dimenzije ''n''×''n'' in tej množici dodamo matriko 0, dobimo nekomutativni obseg. |
|||
==Glej tudi== |
|||
* [[Grupa (matematika)|grupa]] |
|||
* [[Kolobar (algebra)|kolobar]] |
|||
| ⚫ | |||
[[ca:Cos (matemàtiques)]] |
[[ca:Cos (matemàtiques)]] |
||
Redakcija: 13:22, 19. november 2008
Obsèg je v abstraktni algebri ime za množico, v kateri je možno brez omejitev seštevati, odštevati, množiti in deliti (razen deljenja z 0), pri tem pa veljajo podobni zakoni kot v množici racionalnih ali realnih števil. Obseg je torej neke vrste posplošitev množice realnih števil.
Definicija
Obseg je množica O skupaj z dvema računskima operacijama, ki ju zaradi preprostosti imenujemo seštevanje in množenje in ju označujemo z znakoma + (plus) in · (krat). Za računski operaciji + in · morajo veljati spodaj navedene lastnosti. Odštevanje definiramo kot prištevanje nasprotne vrednosti a − b = a + (−b), deljenje pa kot množenje z obratno vrednostjo: a : b = a · b−1. Za ti dve operaciji ne zahtevamo dodatnih lastnosti.
Tako opremljeno množico označimo kot (O, +, ·)
Kratka definicija
Obseg je množica (O, +, ·) v kateri velja:
- (O, +, ·) je kolobar
- obstaja nevtralni element za množenje, ki ga označimo 1 (enota), in je različen od nevtralnega elementa za seštevanje (0):
- 1 · a = a · 1 = a
- za vsak od 0 različen element a obstaja inverzni element a−1, tako da velja:
- a · a−1 = a−1 · a = 1
Daljša definicija
Obseg je množica (O, +, ·) v kateri velja (za poljubne elemente a, b, c):
- komutativnost za seštevanje: a + b = b + a
- asociativnost za seštevanje: a + (b + c) = (a + b) + c
- obstaja nevtralni element za seštevanje (označimo ga z oznako 0): a + 0 = 0 + a = a
- poljubni element a ima nasprotni element −a, tako da velja: a + (−a) = (−a) + a = 0
- asociativnost za množenje: a · (b · c) = (a · b) · c
- distributivnost (z leve in z desne strani), ki povezuje seštevanje in množenje:
- a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
- (a + b) · c = (a · c) + (b · c)
- obstaja nevtralni element za množenje, ki ga označimo 1 (enota), in je različen od nevtralnega elementa za seštevanje (0):
- 1 · a = a · 1 = a
- za vsak od 0 različen element a obstaja inverzni element a−1, tako da velja:
- a · a−1 = a−1 · a = 1
Vrste obsegov
Med zgoraj napisanimi zahtevami ni komutativnosti za množenje. Če v nekem obsegu velja tudi komutativnost množenja (a · b = b · a), potem je to komutativni obseg. Nekateri avtorji za komutativni obseg uporabljajo ime polje, a to poimenovanje v slovenščini ni splošno razširjeno.
Zgledi
Množica racionalnih števil z operacijama seštevanja in množenja (Q, +, ·) je komutativni obseg. Isto velja za množico realnih števil, pa tudi za množico kompleksnih števil.
Tudi množica racionalnih funkcij z operacijama seštevanja in množenja je komutativni obseg.
Množica matrik dimenzije n×n na splošno ni obseg. Če pa vzamemo samo obrnljive matrike dimenzije n×n in tej množici dodamo matriko 0, dobimo nekomutativni obseg.