Mertensova funkcija

Mertensova funkcija je v teoriji števil aritmetična funkcija določena z vsoto:

$M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k)\;,$

kjer je μ(k) Möbiusova funkcija.

Prve vrednosti Mertensove funkcije so (OEIS A002321):

1,0,-1,-1,-2,-1,-2,-2,-2,-1,-2,-2,-3,-2,-1,-1,-2,-2,-3,-3,-2,-1,-2,-2,-2,-1,-1,-1,-2,-3,-4,-4,-3,-2,-1,-1,-2,-1,0,0,...

Mertensova funkcija ima ničle za vrednosti n (OEIS A028442):

2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, ...,

in za praštevilske vrednosti n

2, 101, 149, 163, 331, 353, 401, 419, 541, 607, 811, 823, 853, 877, 883, 919, 1013, 1279, 1289, 1291, 1297, 1523, 1531, 1543, 1861, 2017, 2099, 2113, ...

Mertensova funkcija ima največje absolutne vrednosti za vrednosti n (OEIS A051402):

1, 5, 13, 31, 110, 114, 197, 199, 443, 659, 661, 665, 1105, 1106, 1109, 1637, 2769, 2770

Mertensova funkcija je v tesni zvezi z ničlami Euler-Riemannove funkcije ζ. Thomas Joannes Stieltjes je leta 1885 v pismu svojemu sodelavcu Hermitu nakazal povezavo Mertensove funkcije z Riemannovo domnevo in trdil, da je našel dokaz da velja:

$\left|M(n)\right|<{\sqrt {n}}\;,$

oziroma, da je vrednost izraza:

$M(n) \over {\sqrt {n}}$

vedno med dvema stalnima mejama. Stieltjes dokaza ni nikoli objavil, ker je verjetno našel napako. Franz Mertens je leta 1897 objavil 50 strani dolgo tabelo vrednosti za M(n) za števila do 10.000. Na podlagi tabele je menil, da je Stieltjesova neenakost zelo verjetna. Danes to imenujemo Mertensova domneva, katere negativen izzid sta dokazala leta 1985 te Riele in Odlyzko. Ker Mertensova in Riemannova domneva nista enakovredni, iz neveljavnosti Mertensove domneve ne moremo sklepati o Riemannovi domnevi. Če pa bi Mertensova domneva veljala, bi veljala tudi Riemannova.

Analitična enačba za Mertensovo funkcijo ni znana.

Zunanje povezave

- v angleščini:

• Vrednosti Mertensove funkcije za prvih 2.500 števil na PrimeFanovi strani,
• Mathworld: Mertensova funkcija