Kvadrik

Kvadrik (tudi ploskev drugega reda) je poljubna $n\,$-razsežna hiperpovršina v $n-1\,$ razsežnem prostoru, ki je geometrijsko mesto ničel (korenov) kvadratnega polinoma.

Splošna oblika kvadrika je definirana z algebrsko enačbo:

$\sum _{i,j=1}^{n+1}x_{i}Q_{ij}x_{j}+\sum _{i=1}^{n+1}P_{i}x_{i}+R=0\!\,,$

kjer so:

• $\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1}\}\,$ koordinate.

Enačbo se lahko napiše s pomočjo vektorskega in matričnega zapisa:

$xQx^{T}+Px^{T}+R=0\!\,,$

kjer je:

• $x=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1}\}\,$ vrstični vektor
• $x^{T}\,$ transponirana oblika vrstičnega vektorja $x\,$ (dobi se stolpični vektor)
• $Q\,$ matrika z razsežnostjo $(n+1)\times (n+1)\,$
• $P\,$ vrstični vektor razsežnosti $n+1\,$
• $R\,$ skalarna konstanta

Evklidska ravnina in Evklidski prostor

Kvadriki v evklidski ravnini imajo razsežnost $n=1\,$ in se imenujejo krivulje. Te vrste kvadriki so stožnice, ki se včasih imenujejo tudi koniki.

Elipsa (e=1/2), parabola (e=1) in hiperbola (e=2) s stalnim goriščem F in vodilko (direkriso).

V evklidskem prostoru imajo kvadriki razsežnost $n=2\,$ in se imenujejo kvadrične površine (površine drugega reda).

V naslednjem pregledu so prikazani izrojene (degenerirane) in neizrojene (nedegenerirane) kvadrične površine.

Nedegenerirane kvadrične površine
elipsoid	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1\,$
sferoid (posebni primer elipsoida)	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over b^{2}}=1\,$
sfera (posebni primer sferoida)	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over a^{2}}=1\,$
eliptični paraboloid	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,$
krožni paraboloid (posebni primer eliptičnega paraboloida)	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-z=0\,$
hiperbolični paraboloid	${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,$
enodelni hiperboloid	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1\,$
dvodelni hiperboloid	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1\,$
Degenerirane kvadrične površine
stožec	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0\,$
krožni stožec (posebni primer stožca)	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0\,$
eliptični valj	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\,$
krožni valj (posebni primer eliptičnega valja)	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}=1\,$
hiperbolični valj	${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1\,$
parabolični valj	$x^{2}+2ay=0\,$

Glej tudi

• superkvadriki
• Kleinov kvadrik

Viri

• Levy, Silvio (1995), »Geometry Formulas and Facts, excerpted from 30th Edition of CRC Standard Mathematical Tables and Formulas«, CRC Press, The Geometry Center, Univerza Minnesote (v angleščini) {{citation}}: Prezrt |chapter= (pomoč)

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric W. »Quadric«. MathWorld.
• Kvadriki (angleško)