Perronova enačba

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Perronova enačba je v matematiki, oziroma v analitični teoriji števil, enačba, ki podaja vsoto aritmetične funkcije z obratno Mellinovo transformacijo. Enačbo je izpeljal nemški matematik Oskar Perron.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Naj je aritmetična funkcija in naj je:

pripadajoča Dirichletova vrsta. Privzame se, da je Dirichletova vrsta absolutno konvergentna za . Perronova enačba je potem:

Tukaj zvezdica pri vsoti označuje, da je treba zadnji člen vsote pomnožiti z 1/2, kadar je x celo število. Enačba zahteva, da sta za in realni, drugače pa poljubna. Enačba velja za

Dokaz[uredi | uredi kodo]

Preprost očrt dokaza izhaja iz enačbe za Abelovo vsoto:

To je Laplaceova transformacija pri spremembi spremenljivke . Inverz da Perronovo enačbo.

Zgledi[uredi | uredi kodo]

Ker je enačba v splošnem povezana z Dirichletovimi vrstami, se običano uporablja pri mnogih vsotah iz teorije števil. Riemannova funkcija zeta je enaka integralu:

Podobna je enačba za Dirichletove L-funkcije:

kjer je:

in Dirichletov karakter. Perronova enačba se pojavlja tudi pri Mertensovi funkciji ali von Mangoldtovi funkciji.

Posplošitev na več spremenljivk[uredi | uredi kodo]

Posplošitev enačbe na več spremenljivk je leta 2007 najavil angleški matematik sir Peter Swinnerton-Dyer.

Viri[uredi | uredi kodo]