Kovariančna matrika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Kovariančna matrika (oznaka ) (tudi variančno-kovariančna matrika) je matrika, katere elementi so kovariance i-tega in j-tega elementa vektorja slučajne spremenljivke.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Označimo z stolpični vektor

kjer so posamezne komponente slučajne spremenljivke, ki imajo končno varianco.

Kovariančna matrika , ki ima za elemente kovariance tako, da je

kjer je

  • pričakovana vrednost za i-to komponento vektorja .
  • kovarianca elementov in .

Iz tega sledi, da kovariančno matriko lahko zapišemo kot

.

Obratno matriko kovariančne matrike imenujejo tudi matrika natančnosti.

Kovariančno matriko imenujemo tudi variančno-kovariančna matrika, ker velja

kjer je

  • varianca vektorja
  • kovarianca komponent in
  • varianca n-te komponente vektorja (na glavni diagonali so same variance, izven diagonale pa so kovariance). Zaradi tega ima matrika tudi ime variančno-kovariančna matrika.

Posplošitev variance[uredi | uredi kodo]

Zgornja definicija je enakovredna zapisu

.

Ta zapis lahko smatramo za posplošitev skalarne oblike variance na višje razsežnosti. Pri tem velja za slučajno spremenljivko s skalarnimi vrednostmi

kjer je

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Za kovariančno matriko

  • je pozitivno semidefinitna matrika (to pomeni, da je simetrična).
  • kadar velja p = q, potem je
  • kadar sta in neodvisna, velja tudi .

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]