Konstanta omega

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Konstanta omega je matematična konstanta določena kot:

Je vrednost :

kjer je Lambertova funkcija W za realne argumente, ki je rešitev enačbe:

oziroma:

Ime konstante izhaja iz drugega imena za Lambertovo funkcijo W, funkcije Ω.

Številska desetiška vrednost je približno: (OEIS A030178)

Za konstanto velja:

oziroma enakovredno:

kar da:

Zapišemo jo lahko tudi s tetracijo:

kjer je .

Konstanto Ω lahko izračunamo iterativno, če začnemo S poljubno z vrednostjo Ω0 (npr. Ω0 = 1), in upoštevamo zaporedje:

To zaporedje bo pri n→∞ konvergiralo k Ω, sicer počasi. Hitreje konvergira zaporedje:

Konstanto lahko zapišemo z integralom:

v primerjavi z:

Iracionalnost in transcendentnost[uredi | uredi kodo]

Da je Ω iracionalno število, se lahko dokaže iz dejstva, da je e transcendentno število. Če bi bila Ω racionalno število, bi obstajali takšni celi števili p in q, da bi veljalo:

in naprej:


e pa bi bilo algebrsko število stopnje p. Ker je e trancendentno število, mora biti Ω iracionalno.

Ω je dejansko transcendetno število, kar je neposredna posledica Lindemann-Weierstrassovega izreka. Če bi bila Ω algebrsko število, bi bilo exp(Ω) transcendentno, in prav tako exp−1(Ω). To pa nasprotuje privzetku, da je algebrsko.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]