Konstanta omega

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Konstanta omega je matematična konstanta določena kot:

 \Omega\, e^{\Omega} = 1 \!\, .

Je vrednost \operatorname{W}_{0}(1):

 \Omega \equiv \operatorname{W}_{0}(1) \!\, ,

kjer je \operatorname{W}_{0} Lambertova funkcija W za realne argumente, ki je rešitev enačbe:

 x = \frac{1}{e^{x}} \!\, ,

oziroma:

 x = \ln\left( \frac{1}{x} \right) \!\, .

Ime konstante izhaja iz drugega imena za Lambertovo funkcijo W, funkcije Ω.

Številska desetiška vrednost je približno: (OEIS A030178)

 \Omega = 0,5671432904097838729999686622 \ldots \!\, .

Za konstanto velja:

 e^{-\Omega}=\Omega \!\, ,

oziroma enakovredno:

 \frac{1}{\Omega} = e^{\Omega} \!\, ,

kar da:

 \ln \Omega^{-1} = \Omega \!\, .

Zapišemo jo lahko tudi s tetracijo:

 \Omega = u^{u^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}} \!\, ,

kjer je u=1/e.

Konstanto Ω lahko izračunamo iterativno, če začnemo S poljubno z vrednostjo Ω0 (npr. Ω0 = 1), in upoštevamo zaporedje:

 \Omega_{n+1}=e^{-\Omega_n} \!\, .

To zaporedje bo pri n→∞ konvergiralo k Ω, sicer počasi. Hitreje konvergira zaporedje:

 \Omega_{n+1}=\frac{1+\Omega_{n}}{1+e^{\Omega_{n}}} \!\, .

Konstanto lahko zapišemo z integralom:

 \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{(e^x-x)^2+\pi^2} \, \mathrm{d} x = \frac{1}{1+\Omega} = 0,6381037433651107785224073855 \ldots \!\, ,

v primerjavi z:

 \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{(e^x-x+1)^2+\pi^2} \, \mathrm{d} x = \frac{1}{2} \!\, .

Iracionalnost in transcendentnost[uredi | uredi kodo]

Da je Ω iracionalno število, se lahko dokaže iz dejstva, da je e transcendentno število. Če bi bila Ω racionalno število, bi obstajali takšni celi števili p in q, da bi veljalo:

 \frac{p}{q} = \Omega \!\, ,

in naprej:

 1 = \frac{p e^{\left( \frac{p}{q} \right)}}{q}


 e = \left( \frac{q}{p} \right)^{\left( \frac{q}{p} \right)} = \sqrt[p]{\frac{q^q}{p^q}} \!\, ,

e pa bi bilo algebrsko število stopnje p. Ker je e trancendentno število, mora biti Ω iracionalno.

Ω je dejansko transcendetno število, kar je neposredna posledica Lindemann-Weierstrassovega izreka. Če bi bila Ω algebrsko število, bi bilo exp(Ω) transcendentno, in prav tako exp−1(Ω). To pa nasprotuje privzetku, da je algebrsko.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]