Kongruenca

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Za kongruenco v geometriji glej: Skladnost

Kongruénca oziroma kongruénčna relácija je ekvivalenčna relacija.

Celi števili a in b sta kongruentni po modulu m (m je naravno število), če in samo če m deli razliko števil a in b.

Definicija[uredi | uredi kodo]

, ,

Primer:

Lastnosti kongruenc[uredi | uredi kodo]

Kongruenca je ekvivalenčna relacija, velja namreč:

- refleksivnost
- simetričnost
- tranzitivnost

Pravila pri računanju s kongruencami[uredi | uredi kodo]

Iz definicije sledi da lahko kongruentna števila ali člene vedno zamenjujemo med seboj.

Naj za vse primere velja:

SEŠTEVANJE kongruenc[uredi | uredi kodo]

Zgoraj pridobljeni enačbi seštejemo:

Množenje kongruenc[uredi | uredi kodo]

Množenje kongruenc s celim številom[uredi | uredi kodo]

Potenciranje kongruenc[uredi | uredi kodo]

Ta izrek je le posebni primer izreka o množenju kongruenc. Torej n-krat pomnožimo kongruenco samo s sabo in izrek je dokazan. Je pa ta izrek kot boste videli v nadaljevanju zelo pomemben.

Uporaba kongruenc[uredi | uredi kodo]

Kongruence so uporabne predvsem v nalogah, kjer nastopajo števila prevelika za računanje z njimi brez računalnika. Tipične naloge, ki se jih navadno lotimo s kongruencami so:

  • dokazovanje ali spodbijanje deljivosti
  • ugotavljanje zadnje števke
  • ugotavljenje ostanka pri deljenju z nekim številom
  • uporaba v diofantskih enačbah

Primer naloge[uredi | uredi kodo]

  • S katero števko se konča ?

Ker iščemo zadnjo števko, gledamo število po modulu m=10. Velja seveda:

ali

in

Ker je 2005 = 4 * 501 + 1, velja

ali

pomnožimo obe strani s tri in to je rezultat

.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]