Gaussov snop

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Prečni Gaussov profil laserskega snopa

Gaussov snop je snop elektromagnetnega valovanja, katerega prečno komponento se opiše z Gaussovo funkcijo. Snope Gaussove oblike se izračuna kot rešitve obosne Helmholzove enačbe, v praksi pa se jih najde predvsem v osnovnem laserskem žarku. Gaussovi snopi se imenujejo po nemškem matematiku in fiziku Carlu Friedrichu Gaussu.

Matematična oblika[uredi | uredi kodo]

Amplitudo elektromagnetnega valovanja se zapiše v obliki:

 E(\rho,z) = E_0 \frac{w_0}{w(z)} \exp \left( \frac{-\rho^2}{w^2(z)}\right) \exp \left( -ikz -ik \frac{\rho^2}{2R(z)} +i \zeta(z) \right) \!\, ,

kjer je:

\rho = \sqrt{x^2+y^2} : oddaljenost od osi snopa,
z : vzdolžna koordinata, merjena od najožjega dela snopa (grla),
i : imaginarno število (za katerega velja i^2 = -1),
 k = { 2 \pi  \over   \lambda  }  : valovno število
w_0 = w(0) : širina snopa v grlu

Funkcije w (z), R(z) in \zeta(z) se vpeljejo spodaj.

Sorodno se lahko zapiše tudi porazdelitev jakosti snopa:

 I(\rho,z) =  I_0 \left( \frac{w_0}{w(z)} \right)^2 \exp \left( \frac{-2 \rho^2}{w^2(z)} \right) \!\, .

Parametri snopa[uredi | uredi kodo]

Grafični prikaz parametrov

Širina snopa[uredi | uredi kodo]

Širino snopa w(z), ki se jo vpelje kot oddaljenost od osi z, pri kateri vrednost električne poljske jakosti pade na 1/e vrednosti na osi, se izrazi kot:

 w(z) = w_0 \, \sqrt{ 1+ {\left( \frac{z}{z_0} \right)}^2 }  \!\, ,

pri čemer je za določeno valovno dolžino območje bližnjega polja z_0 enako:

 z_0= \frac{\pi w_0^2}{\lambda} \!\, .

Lega, kjer doseže širina snopa minimum, se imenuje grlo. Širina snopa v grlu je w_{0}.

Območje bližnjega polja[uredi | uredi kodo]

Širina snopa v točkah \pm z_0 je:

 w(\pm z_0) = w_0 \sqrt{2} \!\, .

Razdaljo med tema dvema točkama se označi z b in se imenuje območje bližnjega polja ali dolžina grla:

 b = 2 z_0 = \frac{2 \pi w_0^2}{\lambda} \!\, .

Krivinski radij[uredi | uredi kodo]

Ukrivljenost valovnih čel, ki sestavljajo snop, se opiše s krivinskih radijem R(z):

 R(z) = z \left[{ 1+ {\left( \frac{z_0}{z} \right)}^2 } \right] \!\, .

Pri z=0 je krivinski radij neskončen in valovna čela so ravnine. Najmanšo vrednost doseže pri z=z_{0}, kjer je:

 R(z) = 2 z_0 \!\, .

Krivinski radij se za z > z_{0} veča in se za velike z izraža kot:

 R(z) \approx z \!\, .

Kompleksna ukrivljenost[uredi | uredi kodo]

Kompleksno ukrivljenost se definira kot:

 q(z) =  z - iz_0 \!\, ,

z ostalimi parametri Gaussovega snopa se jo poveže preko recipročne kompleksne ukrivljenosti:

 { 1 \over q(z) }   =   { 1 \over z - iz_0 } =   { z \over z^2 + z_0^2  }  +  i  { z_0 \over z^2 + z_0^2  } = {1 \over R(z) } + i { \lambda \over \pi w^2(z)  } \!\, .

Fazni člen[uredi | uredi kodo]

Fazni člen oz. Gouyevo fazo se izračuna kot:

 \zeta(z) = \arctan \left( \frac{z}{z_0} \right) \!\, .

Divergenca snopa[uredi | uredi kodo]

V limiti z \gg z_{0} se širino snopa opiše s približno zvezo:

 w(z) \approx \frac{w_{0}}{z_{0}}z = \theta z \!\, .

Divergenca snopa je izražena s kotom:

 \Theta = 2 \theta  = 2 \frac{w_0}{z_0} \simeq \frac{2 \lambda}{\pi w_0} \qquad (\theta \mathrm{\ v \ radianih.}) \!\, .

Divergenca snopa je sorazmerna z valovno dolžino ter obratno sorazmerna s širino grla. Dobro kolimirani žarki se dobijo torej tako, da se uporabi snop s širokim grlom in majhno valovno dolžino.

Snopi višjega reda[uredi | uredi kodo]

Osnovni Gaussov snop predstavlja rešitev obosnega (paraksialnega) približka Helmholzove enačbe, vendar ni edina rešitev te enačbe. Rešijo jo med drugimi tudi snopi višjih redov:

V idealnem primeru (stabilen resonator, homogeno pomnoževalno sredstvo, popolnoma ravna ali pa parabolična zrcala,...) laser ustvarja osnovni Gaussov snop (imenuje se tudi TEM_{00} način delovanja). V realnem laserju različni vplivi (na primer spreminjanje optične homogenosti pomnoževalnega sredstva zaradi segrevanja) pripomorejo k popačitvi osnovne Gaussove oblike, kar se opiše z bolj zapletenimi funkcijami (Hermitovo, Laguerrovo, ...).

Viri[uredi | uredi kodo]