Enotska sfera

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Nekaj enotskih sfer v . Oznaka pomeni normo.

Enotska sfera je v matematiki množica točk na razdalji 1 od središčne točke, To lahko enostavno povemo tudi, da je enotska sfera tista sfera, ki ima polmer enak 1.

Podobno lahko definiramo, da je enotska krogla množica točk, ki so na razdalji manjši ali enaki 1 od stalne središčne točke. Tako lahko govorimo o enotski sferi (površina) in enotski krogli (telo), Pomen enotske sfere je v tem, da lahko vsako sfero pretvorimo v v enotsko sfero z uporabo translacije in skaliranja,

Definicija[uredi | uredi kodo]

Naj bo normirani vektorski prostor. V tem primeru imenujemo množico točk, katerih oddaljenost od ničelne točke je manjša od 1, odprta enotska sfera v , kar lahko zapišemo kot

.

Pri tem pa lahko označimo z

zaprto enotsko sfero v in

je enotska sfera v .

Evklidski prostor[uredi | uredi kodo]

V Evklidskem prostoru, ki ima razsežnosti, je enotska sfera množica točk , ki zadoščajo enačbi

,

množica toč, ki pa zadošča neenačbi

pa je enotska krogla.

Površina in prostornina[uredi | uredi kodo]

Označimo z prostornino enotske sfere v razsežnem prostoru. S pa označimo površino krogle.

Prostornina krogle je enaka

kjer je

Hipervolumen razsežne enotske sfere, to je površina razsežne enotske krogle, ki ga označimo z lahko zapišemo kot

kjer zadnja enačba velja samo za n > 0.

Površine in prostornine za nekatere vrednosti so

(površina) (prostornina)
0 0,000 1,000
1 2,000 2,000
2 6,283 3,142
3 12,57 4,189
4 19,74 4,935
5 26,32 5,264
6 31,01 5,168
7 33,07 4,725
8 32,47 4,059
9 29,69 3,299
10 25,50 2,550

Rekurzija[uredi | uredi kodo]

Vrednosti za površino zadoščajo rekurziji

za .

Vrednosti za prostornino pa zadoščajo rekurziji

za .

Površina razsežne sfere s polmerom je enaka ( je površina). Prostornina razsežne krogle s polmerom pa je . Primer: Površina trirazsežne krogle s polmerom je . Prostornina pa je .

Enotska krogla v normiranih vektorskih prostorih[uredi | uredi kodo]

Odprta enotska krogla v normiranem vektorskem prostoru z normo se opiše z

.

Pomeni pa notranjost zaprte enotske krogle, ki pripada (V, ||·||)

.

To pa sta disjunktni množici te krogle in njene skupne razmejitve z enotsko sfero (V,||·||)

.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]