Stohastična matrika

Stohastična matrika (tudi verjetnostna matrika ali matrika prehodov) je matrika, ki se v matematiki uporablja za opis prehodov v Markovskih verigah. Uporablja se tudi v teoriji verjetnosti, statistiki, linearni algebri in računalništvu.

Stohastično matriko označujemo s $P \!$, posamezne komponente (v vrstici ali stolpcu) pa s $p_{i,j} \!$

$P=\left(\begin{matrix}p_{1,1}&p_{1,2}&\dots&p_{1,j}&\dots\\ p_{2,1}&p_{2,2}&\dots&p_{2,j}&\dots\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots\\ p_{i,1}&p_{i,2}&\dots&p_{i,j}&\dots\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots \end{matrix}\right)$

V matrici so verjetnosti za enostaven prehod (z enim korakom) iz stanja $i \!$ v stanje $j \!$ označene s $p_{i,j} \!$. Vsaka vrstica ali stolpec v stohastični matrici je verjetnostni vektor (zaradi tega ga včasih imenujemo tudi stohastični vektor).

Nekatere lastnosti

Znanih je več vrst stohastičnih matrik:

• desna stohastična matrika
• leva stohastična matrik
• dvojno stohastična matrika

Desna stohastična matrika je kvadratna matrika, njene vrstice sestavljajo nenegativna realna števila, vsota vsake vrstice pa je 1. To opišemo na naslednji način:

$p_{ij} \ge 0, \quad \forall i,j=1,2,\ldots$ in $\sum\limits_{j=1}^{\infty} p_{ij} = 1, \quad \forall i$

Leva stohastična matrika je kvadratna matrika, njene stolpce pa sestavljajo nenegativna realna števila tako, da je vsota v vsakem stolpcu enaka 1

$p_{ij} \ge 0, \quad \forall i,j=1,2,\ldots$ in $\sum\limits_{i=1}^{\infty} p_{ij} = 1,\quad \forall j$.

Dvojno stohastična matrika (tudi bistohastična) je tista, ki je istočasno levo in desno stohastična, kar pomeni, da je vsota elementov v vsaki vrstici in stolpcu enaka 1. Primer takšne matrike je

$P = \begin{pmatrix} 0,5 & 0,3 & 0,2 \\ 0,2 & 0,4 & 0,4 \\ 0,3 & 0 ,3& 0,4 \end{pmatrix}$.

Če sta $P \!$ in $Q \!$ dve levi ali desni (tudi dvojno) stohastični matriki, potem je tudi njun produkt $R = P.Q \!$ levo ali desno (dvojno) stohastična matrika.

Glej tudi

• verjetnostni vektor