Stohastična matrika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Stohastična matrika (tudi verjetnostna matrika ali matrika prehodov) je matrika, ki se v matematiki uporablja za opis prehodov v Markovskih verigah. Uporablja se tudi v teoriji verjetnosti, statistiki, linearni algebri in računalništvu.

Stohastično matriko označujemo s P \!, posamezne komponente (v vrstici ali stolpcu) pa s p_{i,j} \!

P=\left(\begin{matrix}p_{1,1}&p_{1,2}&\dots&p_{1,j}&\dots\\
p_{2,1}&p_{2,2}&\dots&p_{2,j}&\dots\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots\\
p_{i,1}&p_{i,2}&\dots&p_{i,j}&\dots\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots
\end{matrix}\right)

V matrici so verjetnosti za enostaven prehod (z enim korakom) iz stanja i \! v stanje j \! označene s p_{i,j} \!. Vsaka vrstica ali stolpec v stohastični matrici je verjetnostni vektor (zaradi tega ga včasih imenujemo tudi stohastični vektor).

Nekatere lastnosti[uredi | uredi kodo]

Znanih je več vrst stohastičnih matrik:

  • desna stohastična matrika
  • leva stohastična matrik
  • dvojno stohastična matrika

Desna stohastična matrika je kvadratna matrika, njene vrstice sestavljajo nenegativna realna števila, vsota vsake vrstice pa je 1. To opišemo na naslednji način:

p_{ij} \ge 0, \quad \forall i,j=1,2,\ldots in \sum\limits_{j=1}^{\infty} p_{ij} = 1, \quad \forall i

Leva stohastična matrika je kvadratna matrika, njene stolpce pa sestavljajo nenegativna realna števila tako, da je vsota v vsakem stolpcu enaka 1

p_{ij} \ge 0, \quad \forall i,j=1,2,\ldots in \sum\limits_{i=1}^{\infty} p_{ij} = 1,\quad \forall j.

Dvojno stohastična matrika (tudi bistohastična) je tista, ki je istočasno levo in desno stohastična, kar pomeni, da je vsota elementov v vsaki vrstici in stolpcu enaka 1. Primer takšne matrike je

P = \begin{pmatrix}
0,5 & 0,3 & 0,2 \\
0,2 & 0,4 & 0,4 \\
0,3 & 0 ,3& 0,4 \end{pmatrix}.

Če sta P \! in Q \! dve levi ali desni (tudi dvojno) stohastični matriki, potem je tudi njun produkt R = P.Q \! levo ali desno (dvojno) stohastična matrika.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]