Monotonost

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Naraščajoča funkcija. Na levi in desni je strogo naraščajoča, v sredini pa ne narašča.
Padajoča funkcija. Na levi in desni je strogo padajoča, v sredini pa ne pada.
Nemonotona funkcija

Monotónost je v matematiki značilnost, da funkcija (lahko tudi zaporedje ali aritmetična operacija) povsod narašča ali pa povsod pada. Takšna funkcija je monotóna fúnkcija.

Definicije[uredi | uredi kodo]

Naraščanje[uredi | uredi kodo]

Funkcija je na množici M naraščajoča (oz. rastoča), če ima pri večjem podatku tudi večjo (ali kvečjemu enako) funkcijsko vrednost - torej če velja:

 \forall x_1,x_2\in M:\quad x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\leqslant f(x_2) \!\, .

Funkcija je strogo naraščajoča (strogo rastoča), če je velja zgornji pogoj brez enakosti:

 \forall x_1,x_2\in M:\quad x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)< f(x_2) \!\, .

Padanje[uredi | uredi kodo]

Funkcija je na množici M padajoča, če ima pri večjem podatku manjšo (ali kvečjemu enako) funkcijsko vrednost - torej če velja:

 \forall x_1,x_2\in M:\quad x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\geqslant f(x_2) \!\, .

Funkcija je strogo padajoča, če je velja zgornji pogoj brez enakosti:

 \forall x_1,x_2\in M:\quad x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)> f(x_2) \!\, .

Če je funkcija strogo naraščajoča ali strogo padajoča, je strógo monotóna fúnkcija.

Izbira množice M[uredi | uredi kodo]

Množico M v zgornjih definicijah lahko izberemo na različne načine. V matematiki najpogosteje uporabljamo naslednej tri pristope:

  • globalno naraščanje oz. padanje - za množico M izberemo celotno definicijsko območje funkcije.
  • naraščanje oz. padanje v okolici dane točke - za množico M izberemo okolico točke, ki nas zanima.
  • naraščanje oziroma padanje na danem intervalu. Funkcija f(x) je absolutno monotona na danem intervalu (a, b), če so vsi njeni odvodi nenegativni v vseh točkah intervala.