Mehanska napetost

Mehánska napétost je sila na ploskovno enoto, denimo njuton na kvadratni milimeter (N/mm²), nekoč kilopond na kvadratni centimeter (kp/cm²). Enoto N/mm² imenujemo pascal. Glede na smer delovanja ločimo tlačno, natezno, upogibno, strižno, uklonsko in torzijsko (vzvojno) napetost. V bistvu gre za notranjo porazdelitev sil v telesu, ki uravnovešajo zunanje sile. Napetost je v splošnem tenzor 2. reda (glej napetostni tenzor) z devetimi komponentami, od katerih pa jih je le šest neodvisnih. Največjo možno napetost v danem materialu imenujemo trdnost, to je porušna ali zrušilna napetost. Komponenta sile, pravokotna na mejno ploskev, predstavlja normalno napetost (oznaka σ, glej tudi tlak), komponente vzporedne s ploskvijo pa tangentne ali strižne napetosti (oznaka τ, glej tudi strig in torzija).

Krhke snovi slabo prenašajo normalne napetosti, plastične in kovne pa strižne.

Napetostni tenzor

Komponente napetostnega tenzorja

Pojem mehanske napetosti je v mehaniko kontinuumov uvedel Cauchy okoli leta 1822. Cauchy je tudi matematično obdelal mehanske napetosti. V preprostem primeru je telo enoosno obremenjeno, na primer prizmatična palica z nateznimi ali tlačnimi napetostmi s silo, ki poteka skozi njeno (vzdolžno, glavno) os, tako da je napetost $\sigma\,$ dana kot količnik sile $F\,$ in površine (začetnega) preseka palice $S_{0}\,$ po Hookovem zakonu:

$\sigma=\frac{F}{S_{0}} \!\, .$

V tem primeru je napetost $\sigma\,$ podana kot skalar in se imenuje mehanska ali imenska napetost. Predstavlja povprečno vrednost napetosti po površini preseka, in je enakomerno porazdeljena. V splošnem pa napetost po preseku telesa ni enakomerno razporejena, tako da je napetost v točki dane površine različna od povprečne vrednosti napetosti po celotni površini. Po Cauchyju je napetost v poljubni točki v telesu, za katerega predpostavimo da je kontinuum - zvezno nepretrgano sredstvo, popolnoma določena z devetimi komponentami simetričnega tenzorja 2. reda $\sigma_{ij}\,$, ki je znan kot Cauchyjev ali kartezični napetostni tenzor (tenzor napetosti). V kartezičnem koordinatnem sistemu lahko napetostni tenzor zapišemo kot matriko 3×3:

$\underline{\sigma} \equiv \mathbf{T} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix} \sigma_{x} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_{y} & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{z} \end{bmatrix} \!\, ,$

kjer so $\sigma_{xx}\,$, $\sigma_{yy}\,$ in $\sigma_{zz}\,$ normalne napetosti, $\sigma_{xy}\,$, $\sigma_{xz}\,$, $\sigma_{yx}\,$, $\sigma_{yz}\,$, $\sigma_{zx}\,$ in $\sigma_{zy}\,$ pa strižne napetosti.

Prvi indeks i označuje, da komponenta napetosti deluje na ravnino, ki je pravokotna na os $x_{i}\,$, drugi indeks j .pa naznačuje smer v kateri deluje komponenta napetosti. Komponenta napetosti je pozitivna, če deluje v pozitivni smeri koordinatnih osi, in če ima ravnina, v kateri deluje, normalni vektor, ki kaže navzven v pozitivni koordinatni smeri.

V statičnem ravnovesju se navori izenačijo, zato je matrika diagonalna in velja $\sigma_{xy} = \sigma_{yx}$, $\sigma_{xz} = \sigma_{xz}$ in $\sigma_{yz} = \sigma_{zy}$, Cauchyjev napetostni tenzor pa je zato simetričen $\sigma_{ij}=\sigma_{ji}\,$.

Za Cauchyjev napetostni tenzor veljajo tenzorske transformacije pri spremembah koordinatnega sistema. Uporablja se pri telesih, ki se deformirajo v majhni meri. Za večje deformacije so potrebni drugi pokazatelji napetosti, na primer: prvi in drugi Piola-Kirchhoffov napetostni tenzor, Biotov in Kirchhoffov napetostni tenzor.

Napetostno stanje v točki v treh razsežnostih je lahko podano tudi z glavnimi napetostmi $\sigma_{1}\,$, $\sigma_{2}\,$ in $\sigma_{3}\,$, ki so lastne vrednosti napetostnega tenzorja, in rešitve njegove kubične karakteristične enačbe.