Interpolacija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Interpolácija je v matematiki približna vrednost funkcije znotraj obsega znanih nepovezanih vrednosti neodvisne spremenljivke. Imejmo na primer naslednjo tabelo vrednosti fukcije


\begin{matrix}
\mathbf{x} & \mathbf{f(x)} \\
 & \\
1 & 1 \\
2 & 4 \\
3 & 9 \\
\vdots & \vdots \\
4 & 16 \\
5 & 25 \\
\end{matrix}

Vidimo, da lahko odvisnost f(x) prilegamo s funkcijo x². V splošnem pri interpolaciji ni tako. Radi bi vedeli vrednost funkcije f(x), ki odgovarja x = 1,7. Najenostavnejša je linearna interpolacija med vrednostmima za x = 1 in x = 2:

f(1,7)\approx f(1)+\frac{1,7-1}{2-1}(f(2)-f(1))=1+0,7(4-1)=1+0,7\cdot 
3=3,1 \; .

Če je osnovna funkcija res x^2, je prava rešitev seveda

f(1,7)=1,7^2=2,89

Na ta način po navadi interpolacija ni natančna. Zaradi tega lahko interpolacijo uporabimo kot učinkovit algoritmski postopek za 'ugibanje' številskih vrednosti, ki manjkajo, za spajanje točk v grafičnem prikazu, iskanje najboljšega prilega premic njihovim nagibom. V bistvu jo lahko uporabimo vsakokrat kadar želimo pretvoriti nezvezen niz podatkov v zvezno funkcijo.

Pri ekstrapolaciji za razliko iščemo vrednosti funkcije zunaj danega obsega znanih vrednosti. Moramo biti pazljivi, ker tukaj rezultati niso vedno smiselni.

Interpolacijski algoritmi[uredi | uredi kodo]

Pri iskanju ustreznega algoritma za interpolacijo vrednosti je potrebno upoštevati več stvari. Na primer kako dobro želimo prilagoditi funkcijo, koliko vrednosti želimo uporabiti za prilagajanje.

Interpolacijski postopki[uredi | uredi kodo]

Primerjajmo nekaj splošno uporabljanih interpolacijskih algoritmov, da dobimo vpogled kdaj je kakšen uporaben. V primerih bomo označili zaporedne vrednosti v ciljnem podatkovnem nizu kot v_0, v_1, v_2, v_3 in vrednost, ki jo interpoliramo kot x. Tako je naša funkcija


\begin{matrix}
\mathbf{x} & \mathbf{f(x)} \\
 & \\
\lfloor x \rfloor - 1 & v_0 \\
\lfloor x \rfloor & v_1 \\
\vdots & \vdots \\
\lfloor x \rfloor + 1 & v_2 \\
\lfloor x \rfloor + 2 & v_3 \\
\end{matrix}

x_f = x - \lfloor x \rfloor

Primer linearne interpolacije[uredi | uredi kodo]

Najpreprostejši postopek je linearna interpolacija, v angleških virih tudi označen z navideznim akronimom lerp.

Imamo dve vrednosti v točkah v_1 in v_2. Potem določimo približni vrednosti z uteženo srednjo vrednostjo med dvema točkama, ki sta odvisni od vrednosti x. To nam da:

IV = v_1(1 - x_f) + v_2(x_f)

Ta algoritem je hiter in enostaven. Težava je, ker dobljena funkcija ni zvezno odvedljiva (oziroma ni odvedljiva pri \lfloor x \rfloor).

Primer interpolacije s kosinusom[uredi | uredi kodo]

Ta algoritem je malo obsežnejši od linearne interpolacije, vendar ne preveč.

Tukaj vzamemo dve vrednosti in z vrednostjo za x izračunamo kosinus na intervalu [0\ldots\pi], preslikamo v [\lfloor x \rfloor \ldots \lceil x_i \rceil], kar se na koncu preslika v točki v_1 in v_2.

F = \frac{1-\cos(x_f\pi)}{2}

IV = v_1(1 - F) + v_2F

To je le malo boljše od linearne interpolacije. Dobljena funkcija je sicer zvezno odvedljiva, toda odvedljivost je napovedljiva, ker je interpolacija še vedno linearna (odvod je v \lfloor x \rfloor zmeraj enak nič).

Primer kubične interpolacije[uredi | uredi kodo]

Kubični algoritem je primer polinomske interpolacije. Ker je število potrebnih koeficientov za izračun kubične funkcije le štiri, je to število členov v večini primerov dovolj.

Aproksimacijski polinom lahko zapišemo v obliki:

f(t) = at^3 + bt^2 + ct + d

kjer se f(t) preslika na točke

f(-1) = v_0 = -a+b-c+d

f(0) = v_1 = d

f(1) = v_2 = a+b+c+d

f(2) = v_3 = 8a+4b+2c+d

Sedaj enačbe rešimo za a, b, c in d, da dobimo:

a=\begin{matrix}{1\over6}\end{matrix}(-v_0+3v_1-3v_2+v_3)

b=\begin{matrix}{1\over2}\end{matrix}(v_0-2v_1+v_2)

c=\begin{matrix}{1\over6}\end{matrix}(-2v_0-3v_1+6v_2-v_3)

d=v_1

Z zgornjimi koeficienti tvorimo polinom in ga izračunamo za izbrani x.

 IV = ax_f^3 + bx_f^2 + cx_f + d

Čeprav moramo tukaj najprej izračunati koeficiente krivulje, je ta postopek veliko natančnejši od linearne interpolacije.

Interpolacija v višjih razsežnostih[uredi | uredi kodo]

Večrazsežni interpolacijski postopki so posebej prilagojeni od interpolacije vzdolž številskih premic do interpolacije vzdolž ravnin, prostornin ali celo višjih razsežnosti polj numeričnih podatkov.

Dve razsežnosti[uredi | uredi kodo]

Zgodovina[uredi | uredi kodo]

Glej tudi[uredi | uredi kodo]