Dvojno Mersennovo število

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Dvojno Mersennovo število je v matematiki Mersennovo število oblike:

 M_{M_p} \equiv 2^{2^{p}-1}-1 \!\, ,

kjer je p eksponent Mersennovih praštevil.

Najmanjša dvojna Mersennova števila so (OEIS A077586):[1]

 M_{M_{2}} = M_{3} = 7
 M_{M_{3}} = M_{7} = 127
 M_{M_{5}} = M_{31} = 2147483647
 M_{M_{7}} = M_{127} = 170141183460469231731687303715884105727 .

Dvojna Mersennova praštevila[uredi | uredi kodo]

Dvojno Mersennovo število, ki je tudi praštevilo, se imenuje dvojno Mersennovo praštevilo. Ker je Mersennovo število M_{p} lahko praštevilo le, če je tudi p praštevilo, je dvojno Mersennovo število M_{M_p} praštevilo le, če je tudi M_{p} samo Mersennovo praštevilo. Prve vrednosti p, za katere je M_{p} praštevilo, so (OEIS A000043):

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89.

Od teh so M_{M_p} praštevila za p = 2, 3, 5, 7. Dvojna Mersennova števila za p = 13, 17, 19 in 31 so sestavljena in so znani njihovi eksplicitni prafaktorji. Tako je najmanjši kandidat za naslednje dvojno Mersennovo praštevilo M_{M_{61}}, ali 2^{2305843009213693951} - 1. Število je približno enako 1,695 · 10694127911065419641 in je preveliko za preveritev praštevilskosti s katerimkoli trenutno znanim testom praštevilskosti. Nima prafaktorjev manjših od 4 · 1033.[2]

Poseben primer dvojnih Mersennovih števil so Cantorjeva števila oblike:

 c_{n+1} = 2^{c_{n}}-1 , \quad c_{0} = 2 ; \quad n \ge 0 \!\, .

Druga definicija[uredi | uredi kodo]

V zgornji definiciji je lahko p nenegativno celo število n:

 M_{M_n} \equiv 2^{2^{n}-1}-1; \quad n \ge 0 \!\, ,

kar da celoštevilsko zaporedje (OEIS A077585):

0, 1, 7, 127, 32767, 2147483647, 9223372036854775807, ...

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Caldwell, Chris K.. "Mersenne Primes: History, Theorems and Lists". Prime Pages (v angleščini). Pridobljeno dne 2011-01-18. 
  2. ^ Forbes (2008). Zapis navaja največjo vrednost 204204000000 · (10019+1)· (261 − 1) nad 4 · 1033.

Viri[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]