Dvojno Mersennovo število

Dvojno Mersennovo število je v matematiki Mersennovo število oblike:

$M_{M_p} \equiv 2^{2^{p}-1}-1 \!\, ,$

kjer je p eksponent Mersennovih praštevil.

Najmanjša dvojna Mersennova števila so (OEIS A077586):

$M_{M_{2}} = M_{3} = 7$

$M_{M_{3}} = M_{7} = 127$

$M_{M_{5}} = M_{31} = 2147483647$

$M_{M_{7}} = M_{127} = 170141183460469231731687303715884105727$ .

Dvojna Mersennova praštevila

Dvojno Mersennovo število, ki je tudi praštevilo, se imenuje dvojno Mersennovo praštevilo. Ker je Mersennovo število $M_{p}$ lahko praštevilo le, če je tudi p praštevilo, je dvojno Mersennovo število $M_{M_p}$ praštevilo le, če je tudi $M_{p}$ samo Mersennovo praštevilo. Prve vrednosti p, za katere je $M_{p}$ praštevilo, so (OEIS A000043):

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89.

Od teh so $M_{M_p}$ praštevila za p = 2, 3, 5, 7. Dvojna Mersennova števila za p = 13, 17, 19 in 31 so sestavljena in so znani njihovi eksplicitni prafaktorji. Tako je najmanjši kandidat za naslednje dvojno Mersennovo praštevilo $M_{M_{61}}$, ali $2^{2305843009213693951} - 1$. Število je približno enako 1,695 · 10^{694127911065419641} in je preveliko za preveritev praštevilskosti s katerimkoli trenutno znanim testom praštevilskosti. Nima prafaktorjev manjših od 4 · 10³³.

Poseben primer dvojnih Mersennovih števil so Cantorjeva števila oblike:

$c_{n+1} = 2^{c_{n}}-1 , \quad c_{0} = 2 ; \quad n \ge 0 \!\, .$

Druga definicija

V zgornji definiciji je lahko p nenegativno celo število n:

$M_{M_n} \equiv 2^{2^{n}-1}-1; \quad n \ge 0 \!\, ,$

kar da celoštevilsko zaporedje (OEIS A077585):

0, 1, 7, 127, 32767, 2147483647, 9223372036854775807, ...

Zunanje povezave

• Dvojno Mersennovo število na MathWorld (v angleščini)