Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Trikotniško kvadratno število je v matematiki število, ki je hkrati trikotniško in kvadratno število (popolni kvadrat). Obstaja neskončno mnogo trikotniških kvadratov. Ti so dani z enačbo:
![{\displaystyle N_{k}={1 \over 32}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2k}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2k}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/764faa8ec78cd461374e735bef08bcf064822296)
k-ti trikotniški kvadrat Nk je enak s-temu kvadratnemu številu in t-jevemu trikotniškemu številu, tako da velja:
,
![{\displaystyle t(N)=\lfloor {\sqrt {2N}}\rfloor .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bef7f1f4ef5767cb2f19a3bb61903ecb0af75baf)
t je dan z enačbo:
.
Trikotniška kvadratna števila lahko določimo tudi rekurzivno:
![{\displaystyle N_{k}=\left\{{\begin{matrix}0;\qquad \qquad \qquad \qquad \,&&k=0;\ \ \,\\1;\qquad \qquad \qquad \qquad \,&&k=1;\ \ \,\\34\,N_{k-1}-N_{k-2}+2;&&{\mbox{sicer.}}\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bfee6dd0cee548719360aa4a42c7d262c8271ba)
Prva trikotniška kvadratna števila so (OEIS A001110):
- (0), 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, ...
Ko se k veča, se razmerje t/s približuje kvadratnemu korenu od 2: