Singularna točka krivulje

Singularna točka krivulje je na krivulji točka, kjer ji parameter ne daje gladkosti. Natančna definicija singularne točke je odvisna od vrste krivulje.

Algebrske krivulje

Algebrske krivulje v ravnini lahko definiramo kot množico točk $(x,y)$, ki zadoščajo enačbi z obliko $f(x,y)=0$, kjer je f polinomska funkcija $f:{\text{ }}R^{2}\to R$. Funkcijo f razvijmo kot

$f=a_{0}+b_{0}x+b_{1}y+c_{0}x^{2}+2c_{1}xy+c_{2}y^{2}+\dots \,$.

Kadar je koordinatno izhodišče na krivulji, velja $a_{0}=0$. Če pa je $b_{1}\neq 0$, nam izrek o implicitni funkciji potrjuje, da obstoja gladka funkcija h tako, da ima krivulja v bližini izhodišča obliko $y=h(x)$. Podobno lahko zapišemo, če je $b_{0}\neq 0$, potem obstoja gladka funkcija k, tako, da ima krivulja v bližini izhodišča obliko $x=k(y)$. V obeh primerih obstoja gladka preslikava iz R na ravnino, ki določa krivuljo v bližini izhodišča. V izhodišču velja

$b_{0}={\partial f \over \partial x},\,b_{1}={\partial f \over \partial y},$.

Krivulja je nesingularna v izhodišču, če je vsaj eden od parcialnih odvodov različen od 0. To pa pomeni, da so singularne točke tiste točke na krivulji, kjer sta oba parcialna odvoda enaka nič:

$f(x,y)={\partial f \over \partial x}={\partial f \over \partial y}=0$.

Regularne točke

Predpostavimo, da teče krivulja skozi izhodišče in, da lahko pišemo $y{\text{ }}={\text{ }}mx$. V tem primeru lahko funkcijo f zapišemo kot

$f=a_{0}+b_{0}x+b_{1}y+c_{0}x^{2}+2c_{1}xy+c_{2}y^{2}+\dots \,$

Kadar vrednost izraza $b_{0}+mb_{1}$ ni enaka 0 takrat ima enačba $f{\text{ }}={\text{ }}0$ eno rešitev v $x{\text{ }}={\text{ }}0$. Izhodišče je v tem primeru točka edinega stika s premico $y{\text{ }}={\text{ }}mx$. Če pa je $b_{0}+mb_{1}=0$, potem ima enačba vsaj dvojno rešitev in premica $y{\text{ }}={\text{ }}mx$ ali $b_{0}x+b_{1}y=0$ je tangenta na krivuljo.

Dvojne točke

Trije Pascalovi polži, ki prikazujejo tri vrste dvojnih točk. Leva krivulja ima izolirano točko v izhodišču. Srednja krivulja je srčnica, ki ima točko obrata v izhodišču. Desna krivulja ima dvojno točko v izhodišču, seka samo sebe in tvori zanko.

Kadar sta $b_{0}$ in $b_{1}$ enaka 0 in je vsaj eden od $c_{0},{\text{ }}c_{1},{\text{ }}c_{2}$ ni enak 0, potem se izhodišče imenuje dvojna točka. Če je $y=mx$, lahko zapišemo

$f=(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+(d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3})x^{3}+\dots \,$.

Dvojne točke lahko razvrstimo v skupine glede na rešitve enačbe c₀+mc₁+m²c₂=0.

Dvojne točke

Kadar je $c_{0}+mc_{1}+m^{2}c_{2}=0$ dobimo dve realni rešitvi. Če pa je $c_{0}c_{2}-c_{2}^{2}<0$ se izhodišče imenuje dvojna točka. Krivulja seka samo sebe v izhodišču ter ima dve različni tangenti, ki pripadata dvema rešitvama enačbe $c_{0}+mc_{1}+m^{2}c_{2}=0$. Funkcija f ima sedlasto točko v izhodišču.

Izolirane točke

Kadar enačba $c_{0}+mc_{1}+m^{2}c_{2}=0$ nima realnih rešitev, se izhodišče imenuje izolirana točka. V realni ravnini je izhodišče izolirana točka množice na krivulji.

Točke obrata

Če $c_{0}+mc_{1}+m^{2}c_{2}=0$ nima realnih rešitev in je $c_{0}c_{1}-c_{1}^{2}=0$, potem se izhodišče imenuje izolirana točka. Krivulja v tem primeru v izhodišču spremeni smer in tvori konico. Krivulja ima samo eno tangento v izhodišču, ki jo lahko obravnavamo kot dve enaki tangenti.

Glej tudi

• teorija singularnosti

Zunanje povezave

• Singularne točke (poglavje II) (angleško)