Singularna točka krivulje

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Singularna točka krivulje je na krivulji točka, kjer ji parameter ne daje gladkosti. Natančna definicija singularne točke je odvisna od vrste krivulje.

Algebrske krivulje[uredi | uredi kodo]

Algebrske krivulje v ravnini lahko definiramo kot množico točk , ki zadoščajo enačbi z obliko , kjer je f polinomska funkcija . Funkcijo f razvijmo kot

.

Kadar je koordinatno izhodišče na krivulji, velja . Če pa je , nam izrek o implicitni funkciji potrjuje, da obstoja gladka funkcija h tako, da ima krivulja v bližini izhodišča obliko . Podobno lahko zapišemo, če je , potem obstoja gladka funkcija k, tako, da ima krivulja v bližini izhodišča obliko . V obeh primerih obstoja gladka preslikava iz R na ravnino, ki določa krivuljo v bližini izhodišča. V izhodišču velja

.

Krivulja je nesingularna v izhodišču, če je vsaj eden od parcialnih odvodov različen od 0. To pa pomeni, da so singularne točke tiste točke na krivulji, kjer sta oba parcialna odvoda enaka nič:

.

Regularne točke[uredi | uredi kodo]

Predpostavimo, da teče krivulja skozi izhodišče in, da lahko pišemo . V tem primeru lahko funkcijo f zapišemo kot

Kadar vrednost izraza ni enaka 0 takrat ima enačba eno rešitev v . Izhodišče je v tem primeru točka edinega stika s premico . Če pa je , potem ima enačba vsaj dvojno rešitev in premica ali je tangenta na krivuljo.

Dvojne točke[uredi | uredi kodo]

Trije Pascalovi polži, ki prikazujejo tri vrste dvojnih točk. Leva krivulja ima izolirano točko v izhodišču. Srednja krivulja je srčnica, ki ima točko obrata v izhodišču. Desna krivulja ima dvojno točko v izhodišču, seka samo sebe in tvori zanko.

Kadar sta in enaka 0 in je vsaj eden od ni enak 0, potem se izhodišče imenuje dvojna točka. Če je , lahko zapišemo

.

Dvojne točke lahko razvrstimo v skupine glede na rešitve enačbe c0+mc1+m2c2=0.

Dvojne točke[uredi | uredi kodo]

Kadar je dobimo dve realni rešitvi. Če pa je se izhodišče imenuje dvojna točka. Krivulja seka samo sebe v izhodišču ter ima dve različni tangenti, ki pripadata dvema rešitvama enačbe . Funkcija f ima sedlasto točko v izhodišču.

Izolirane točke[uredi | uredi kodo]

Kadar enačba nima realnih rešitev, se izhodišče imenuje izolirana točka. V realni ravnini je izhodišče izolirana točka množice na krivulji.

Točke obrata[uredi | uredi kodo]

Če nima realnih rešitev in je , potem se izhodišče imenuje izolirana točka. Krivulja v tem primeru v izhodišču spremeni smer in tvori konico. Krivulja ima samo eno tangento v izhodišču, ki jo lahko obravnavamo kot dve enaki tangenti.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]