Singularna točka krivulje

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Jump to navigation Jump to search

Singularna točka krivulje je na krivulji točka, kjer ji parameter ne daje gladkosti. Natančna definicija singularne točke je odvisna od vrste krivulje.

Algebrske krivulje[uredi | uredi kodo]

Algebrske krivulje v ravnini lahko definiramo kot množico točk , ki zadoščajo enačbi z obliko , kjer je f polinomska funkcija . Funkcijo f razvijmo kot

.

Kadar je koordinatno izhodišče na krivulji, velja . Če pa je , nam izrek o implicitni funkciji potrjuje, da obstoja gladka funkcija h tako, da ima krivulja v bližini izhodišča obliko . Podobno lahko zapišemo, če je , potem obstoja gladka funkcija k, tako, da ima krivulja v bližini izhodišča obliko . V obeh primerih obstoja gladka preslikava iz R na ravnino, ki določa krivuljo v bližini izhodišča. V izhodišču velja

.

Krivulja je nesingularna v izhodišču, če je vsaj eden od parcialnih odvodov različen od 0. To pa pomeni, da so singularne točke tiste točke na krivulji, kjer sta oba parcialna odvoda enaka nič:

.

Regularne točke[uredi | uredi kodo]

Predpostavimo, da teče krivulja skozi izhodišče in, da lahko pišemo . V tem primeru lahko funkcijo f zapišemo kot

Kadar vrednost izraza ni enaka 0 takrat ima enačba eno rešitev v . Izhodišče je v tem primeru točka edinega stika s premico . Če pa je , potem ima enačba vsaj dvojno rešitev in premica ali je tangenta na krivuljo.

Dvojne točke[uredi | uredi kodo]

Trije Pascalovi polži, ki prikazujejo tri vrste dvojnih točk. Leva krivulja ima izolirano točko v izhodišču. Srednja krivulja je srčnica, ki ima točko obrata v izhodišču. Desna krivulja ima dvojno točko v izhodišču, seka samo sebe in tvori zanko.

Kadar sta in enaka 0 in je vsaj eden od ni enak 0, potem se izhodišče imenuje dvojna točka. Če je , lahko zapišemo

.

Dvojne točke lahko razvrstimo v skupine glede na rešitve enačbe c0+mc1+m2c2=0.

Dvojne točke[uredi | uredi kodo]

Kadar je dobimo dve realni rešitvi. Če pa je se izhodišče imenuje dvojna točka. Krivulja seka samo sebe v izhodišču ter ima dve različni tangenti, ki pripadata dvema rešitvama enačbe . Funkcija f ima sedlasto točko v izhodišču.

Izolirane točke[uredi | uredi kodo]

Kadar enačba nima realnih rešitev, se izhodišče imenuje izolirana točka. V realni ravnini je izhodišče izolirana točka množice na krivulji.

Točke obrata[uredi | uredi kodo]

Če nima realnih rešitev in je , potem se izhodišče imenuje izolirana točka. Krivulja v tem primeru v izhodišču spremeni smer in tvori konico. Krivulja ima samo eno tangento v izhodišču, ki jo lahko obravnavamo kot dve enaki tangenti.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]