Samoštevilo

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Sámoštevílo ali Kolumbijevo število je v matematiki pozitivno celo število, ki ga v dani osnovi ne moremo tvoriti z nekim drugim celim številom, seštetim s svojimi števkami. Število 21, na primer, ni samoštevilo, ker ga lahko dobimo iz vsote števila 15 in njegovih števk, oziroma 21 = 15 + 1 + 5. Za število 20 takšna vsota ne obstaja in zato je 20 samoštevilo. Samoštevila je prvi raziskoval leta 1949 indijski matematik Šri Datatreja Ramačandra Kaprekar (1905-1986). Prva samoštevila v desetiškem sestavu so (OEIS A003052):

1, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, 108, 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 209, 211, 222, 233, 244, 255, 266, 277, 288, 299, 310, 312, 323, 334, 345, 356, 367, 378, 389, 400, 411, 413, 424, 435, 446, 457, 468, 479, 490, 501, 512, 514, 525, ...

Pri sodih osnovah so v splošnem vsa soda števila, manjša od osnove, samoštevila, ker mora vsako število manjše od lihega števila biti tudi enomestno in, če ga seštejemo z njego števko, da liho število. Za lihe osnove so vsa liha števila samoštevila.

Definicija in lastnosti[uredi | uredi kodo]

Naj bo naravno število. Definiramo -samofunkcijo za osnovo :

kjer je število števk v številki v osnovi , in

je vrednost vsake števke števila. Naravno število je -samoštevilo če je predpreslikava za prazna množica.

Na splošno velja, tudi za osnove, da so vsa liha števila samoštevila, saj bi katerokoli število, manjše od tega sodega števila, moralo biti 1-števčno število, ki kadar je dodano svoji števki tvori sodo število. Za lihe baze so vsa liha števila samoštevila.[1]

Množica samoštevil v dani množici je neskončna in ima pozitivno asimptotično gostoto: ko je lih, je ta gostota 1/2.[2]

Rekurenčna enačba[uredi | uredi kodo]

Naslednja rekurenčna enačba daje samoštevila za osnovo 10:

kjer je C1 = 9 in k > 1.

Podobno za dvojiška števila:

kjer j teče po številu števk, C1 = 1 in k > 0. To rekurenčno enačbo lahko posplošimo za samoštevila v poljubni osnovi b:

kjer je C1 = b - 1 za sode osnove in C1 = b - 2 za lihe, ter k > 1.

Te rekurenčne enačbe kažejo, da v poljubni osnovi obstaja neskončno mnogo samoštevil.

Obstajajo tudi praštevilska samoštevila. Prva so (OEIS A006378):

3, 5, 7, 31, 53, 97, 211, 233, 277, 367, 389, 457, 479, 547, 569, 613, 659, 727, 839, 883, 929, 1021, ...

Sklici[uredi | uredi kodo]

  1. Sándor & Crstici (2004) p.384
  2. Sándor & Crstici (2004) p.385
  • Kaprekar, D. R. The Mathematics of New Self-Numbers Devaiali (1963): 19 - 20.
  • R. B. Patel (1991). "Some Tests for k-Self Numbers". Math. Student. 56: 206–210.
  • B. Recaman (1974). "Problem E2408". Amer. Math. Monthly. 81 (4): 407. doi:10.2307/2319017.
  • Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic. str. 32–36. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001.
  • Weisstein, Eric W. "Self Number". MathWorld.