Riemannova funkcija ksi

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Jump to navigation Jump to search
Riemannova funkcija v kompleksni ravnini. Barva točke odkriva vrednost funkcije ξ(s). Temnejše barve označujejo vrednosti blizu nič, odtenek pa argument vrednosti.

Riemannova funkcija hi (občajna označba ) je v matematiki in še posebej analitični teoriji števil specialna funkcija kot različica Riemannove funkcije ζ(s), definirana tako, da ima še posebej enostavno funkcijsko enačbo. Imenuje se po nemškem matematiku Bernhardu Riemannu.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Riemannovo izvirno funkcijo hi (označeno z malo črko ξ) je Edmund Landau poimenoval v funkcijo Hi (označeno z veliko črko Ξ). Landauova funkcija ξ(s) je definirana kot:[1]

Tukaj je ζ(s) Riemannova funkcija zeta, Γ(s) pa funkcija Γ. Funkcijska enačba (ali posebej refleksijska formula) za funkcijo ξ je:

Funkcija Ξ je po Landau definirana kot:[2]

in zanjo velja funkcijska enačba:

Kot je poročal Landau,[3] je ta funkcija Ξ tista, ki jo je Riemann izvirno označil z malo črko ξ.

Značilnosti[uredi | uredi kodo]

Posebne vrednosti Riemannove funkcije ξ[uredi | uredi kodo]

Splošna oblika za soda pozitivna cela števila je:

kjer je Bn n-to Bernoullijevo število.

(OEIS A182448).
(OEIS A019673).
(OEIS A114720).

Izrazi z vrstami[uredi | uredi kodo]

Funkcijo se lahko razvije v vrsto:

kjer je logaritemski odvod:

Ta razvoj je še posebej pomemben pri Li-Keiperjevem kriteriju, po katerem je Riemannova domneva enakovredna dejstvu, da so vse vrednosti členov zaporedja λn > 0 za vse pozitivne n. Števila , imenovana Li-Keiperjeve konstante[4] ali Keiper-Lijevi koeficienti,[5] se lahko izrazijo z netrivialnimi ničlami Riemannove funkcije ζ:

kjer vsota poteka po ρ, netrivialnih ničlah Riemannove funkcije ζ po vrsti . To pogojno konvergentno vsoto je treba razumeti v smislu, ki se po navadi rabi v teoriji števil, tako da velja limita:

Posebej je znana vrednost:[4]

(OEIS A074760),

kjer je γ Euler-Mascheronijeva konstanta.

Bombieri in Lagarias sta pokazala, da Li-Keiperjev kriterij sledi iz Weilovega kriterija za posplošeno Riemannovo domnevo.

Hadamardov produkt[uredi | uredi kodo]

Razvoj z enostavnim neskončnim produktom je:

kjer ρ teče po korenih enačbe . Razvoj je leta 1859 zapisal Riemann, Hadamard pa je leta 1893 podal strogi dokaz zanj.

Za zagotovitev konvergence je treba produkt računati z » ujemajočimi pari« ničel, kar pomeni, da je treba združevati faktorje za par ničel oblike ρ in 1 − ρ.

Sklici[uredi | uredi kodo]

Viri[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]