Kvadratna funkcija

Kvadrátna fúnkcija je realna funkcija, ki se jo da zapisati z enačbo oblike:

$f(x)=ax^{2}+bx+c\!\,,$

kjer so koeficienti a, b in c realna števila in je a različen od 0 (če bi bil a enak 0, bi bila to linearna funkcija).

Teme kvadratne funkcije

Graf funkcije $f(x)=x^{2}-x-2$

Kvadratno funkcijo lahko vedno preoblikujemo v temensko obliko:

$f(x)=a(x-p)^{2}+q\!\,.$

Števili p in q, ki nastopata v temenski obliki, sta koordinati točke, kjer kvadratna funkcija doseže ekstremno vrednost. To točko imenujemo tême: T(p,q).

Koordinati temena izračunamo po formulah:

$p=-{\frac {b}{2a}}~~~~~~q={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\!\,.$

Teme omogoča lažje risanje grafa kvadratne funkcije.

Ničli kvadratne funkcije

Kvadratna funkcija ima lahko eno ali dve ničli, lahko pa je tudi brez ničel. Ničli izračunamo po formuli:

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\!\,.$

Število, ki nastopa pod kvadratnim korenom, imenujemo diskriminanta ($D=b^{2}-4ac$) in pišemo tudi:

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}\!\,.$

Diskriminanta nam pove, koliko ničel ima kvadratna funkcija, tj. kolikokrat graf kvadratne funkcije seka abscisno os:

• če je diskriminanta pozitivna, ima funkcija dve (realni) ničli - graf seka os x v dveh točkah.
• če je diskriminanta enaka 0, ima funkcija eno (realno) ničlo - graf se v eni točki dotika osi x.
• če je diskriminanta negativna, funkcija nima (realnih) ničel - graf ne seka osi x. (V kompleksnem lahko izračunamo dve ničli, ki pa se ju v običajnem realnem koordinatnem sistemu ne vidi).

Če ima kvadratna funkcija ničli $x_{1},x_{2}$, lahko njeno enačbo preoblikujemo v ničelno obliko:

$f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\!\,.$

Posplošitev

Posplošena kvadratna funkcija je funkcija $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$, ki se jo da zapisati z enačbo oblike:

$f(\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{T}{\mathbf {Q} }\mathbf {x} +\mathbf {c} ^{T}\mathbf {x} \!\,,$

kjer je Q simetrična matrika razsežnosti n×n in c vektor razsežnosti n.

Glej tudi

• kvadratna enačba