Kvadratna funkcija: Razlika med redakcijama

Jump to navigation Jump to search
dodanih 73 zlogov ,  pred 8 leti
m
m/nvg/slog
m (m/pnp)
m (m/nvg/slog)
'''KvadratnaKvadrátna funkcijafúnkcija''' je realna [[funkcija]], ki se jo da zapisati z enačbo oblike:
 
: <math> f(x)=ax^2+bx+c\, \!\, , </math>,
 
kjer so koeficienti ''a'', ''b'' in ''c'' [[realno število|realna števila]] in je ''a'' različen od 0 (če bi bil ''a'' enak 0, bi bila to [[linearna funkcija]]).
 
== Teme kvadratne funkcije ==
[[Slika:Polynomialdeg2.png|thumb|Graf funkcije <math>f(x)=x^2-x-2</math>]]
 
Kvadratno funkcijo lahko vedno preoblikujemo v '''temensko obliko''':
 
: <math> f(x)=a(x-p)^2+q\, \!\, . </math>
 
Števili ''p'' in ''q'', ki nastopata v temenski obliki, sta koordinati točke, kjer kvadratna funkcija doseže ekstremno vrednost. To točko imenujemo '''tême''': ''T(p,q)''.
Koordinati temena izračunamo po formulah:
 
: <math> p=-\frac{b}{2a}~~~~~~ q=\frac{4ac-b^2}{4a} \!\, . </math>
 
Teme omogoča lažje risanje [[graf funkcije|grafa]] kvadratne funkcije.
 
== Ničli kvadratne funkcije ==
 
Kvadratna funkcija ima lahko eno ali dve [[ničla funkcije|ničli]], lahko pa je tudi brez ničel. Ničli izračunamo po formuli:
 
: <math> x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \!\, . </math>
 
Število, ki nastopa pod kvadratnim korenom, imenujemo '''diskriminanta''' (<math>D=b^2-4ac</math>) in pišemo tudi:
 
: <math> x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \!\, . </math>
 
[[Diskriminanta]] nam pove, koliko ničel ima kvadratna funkcija, tj. kolikokrat graf kvadratne funkcije seka [[abscisna os|abscisno os]]:
*Če če je diskriminanta pozitivna, ima funkcija dve (realni) ničli - graf seka os ''x'' v dveh točkah.
*Če če je diskriminanta enaka 0, ima funkcija eno (realno) ničlo - graf se v eni točki dotika osi ''x''.
*Če če je diskriminanta negativna, funkcija nima (realnih) ničel - graf ne seka osi ''x''. (V kompleksnem lahko izračunamo dve ničli, ki pa se ju v običajnem realnem koordinatnem sistemu ne vidi).
 
Če ima kvadratna funkcija ničli <math>x_1, x_2</math>, lahko njeno enačbo preoblikujemo v '''ničelno obliko''':
 
: <math> f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\, \!\, . </math>
 
== Posplošitev ==
Posplošena kvadratna funkcija je funkcija
<math>f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>, ki se jo da zapisati z enačbo oblike:
 
Posplošena kvadratna funkcija je funkcija <math>f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>, ki se jo da zapisati z enačbo oblike:
:<math>f(\mathbf{x}) = \frac{1}{2} \mathbf{x}^T \bold Q \mathbf{x} + \mathbf{c}^T \mathbf{x}</math>,
 
: <math> f(\mathbf{x}) = \frac{1}{2} \mathbf{x}^T \bold Q \mathbf{x} + \mathbf{c}^T \mathbf{x} \!\, , </math>,
kjer je '''Q''' simetrična [[matrika]] dimenzije ''n''&times;''n'' in '''c''' vektor dimenzije ''n''.
 
kjer je '''Q''' simetrična [[matrika]] dimenzijerazsežnosti ''n''&times;''n'' in '''c''' vektor dimenzijerazsežnosti ''n''.
 
== Glej tudi ==
* [[kvadratna enačba]]
 
* [[kvadratna enačba]]
 
[[Kategorija:Polinomi]]

Navigacijski meni