Besslova funkcija

Besslove funkcije [béslove fúnkcije] so družina funkcij, ki rešijo Besslovo diferencialno enačbo:

$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+\left(x-\nu \right)y=0$

Kot prvi jih je definiral švicarski matematik Daniel Bernoulli in jih poimenoval po Friedrichu Besslu.

Besslova funkcija prve vrste reda $\nu$ se izračuna kot:

$J_{\nu }=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{m}x^{2m+\nu }}{2^{2m+\nu }m!\Gamma \left(m+\nu +1\right)}}$

Če $\nu$ ni celo število, funkciji $J_{\nu }\left(x\right)$ in $J_{-\nu }\left(x\right)$ nista linearno odvisni, zato ima v tem primeru splošna rešitev Besslove diferencialne enačbe obliko:

$y\left(x\right)=c_{1}J_{\nu }\left(x\right)+c_{2}J_{-\nu }\left(x\right)\qquad \left(\nu \not \in {\mathcal {Z}}\right)$

Kjer sta $c_{1}$ in $c_{2}$ odvisna od začetnih pogojev.

Če je $\nu$ celo število, se izkaže, da sta funkciji $J_{\nu }\left(x\right)$ in $J_{-\nu }\left(x\right)$ linearno odvisni, saj velja:

$J_{-\nu }\left(x\right)=\left(-1\right)^{\nu }J_{\nu }\left(x\right)$

V tem primeru potrebujemo Besslovo funkcijo druge vrste reda $\nu$, ponekod imenovano tudi Neumannova funkcija ali Webrova funkcija:

$Y_{\nu }\left(x\right)=\lim _{m\to \nu }{\frac {J_{m}\left(x\right)\cos \left(\pi m\right)-J_{-m}\left(x\right)}{\sin \left(\pi m\right)}}$

V tem primeru je splošna rešitev Besslove diferencialne enačbe za katerikoli realni $\nu$ enaka:

$y\left(x\right)=c_{1}J_{\nu }\left(x\right)+c_{2}Y_{\nu }\left(x\right)\qquad \left(\nu \in {\mathcal {R}}\right)$