Ortonormalnost: Razlika med redakcijama
Nov prispevek |
m dopolnitev |
||
Vrstica 29: | Vrstica 29: | ||
=== Standardna baza === |
=== Standardna baza === |
||
{{glavni|Standardna baza}} |
|||
[[Standardna baza]] v [[koordinatni prostor|koordinatnem prostoru]] <math> F^n \,</math> je <math> { e_1, e_2, \dots, e_n }\,</math> |
[[Standardna baza]] v [[koordinatni prostor|koordinatnem prostoru]] <math> F^n \,</math> je <math> { e_1, e_2, \dots, e_n }\,</math> |
||
kjer je |
kjer je |
Redakcija: 15:22, 16. februar 2011
Ortonormalnost je v linearni algebri odnos med dvema enotskima vektorjema (njuna dolžina je 1), ki sta med seboj pravokotna ˙(ortogonalna). Skupina vektorjev tvori ortonormalno skupino vektorjev, če so vsi ortogonalni in imajo dolžino 1. Ortonormalna skupina vektorjev tvori bazo, ki jo imenujemo ortonormalna baza.
Definicija
Z označimo prostor notranjega produkta. Množica vektorjev
je ortogonalna, če in samo, če velja
kjer je
- Kroneckerjev delta
- notranji produkt v prostoru .
Lastnosti
- če je skupina ortonormalnih vektorjev, potem velja
- vsaka skupina ortonormiranih vektorjev je linearno neodvisna
Primeri
Dvorazsežni Kartezični koordinatni sistem
Vektorja v katezičnem koordinatnem sistemu naj bosta in . Vektorja sta ortonormalna, če zanju velja:
- skalarni produkt je enak 0 ali
- norma vektorja je enaka 1 ali
- norma vektorja je enaka 1 ali .
To lahko zapišemo kot
- .
Kar pomeni, da je . Torej je dolžina vektorjev enaka 1, ležita pa na enotski krožnici. V ravnini sta ortonormalna vektorja polmera enotske krožnice in tvorita pravi kot. Podobno velja za trirazsežni prostor. Postopek ortogonalizacije množice vektorjev v [[|prehilbertov prostor|prostoru notranjih produktov]] se imenuje Gram-Schmidtov postopek. Običajno se to izvaja v Evklidskem prostoru z uporabo linearno neodvisnih vektorjev.
Standardna baza
Standardna baza v koordinatnem prostoru je kjer je
- .
- .
Katerakoli dva vektorja in , ki imata sta ortogonalna. Vsi vektorji imajo tudi dolžino 1.
Zunanje povezave
- Ortogonalnost (angleško)
- Ortonormalnost na WordiQ (angleško)
- Ortogonalne in ortonormalne baze (angleško)