Brahistokrona

Brahistokrona (gr. βραχίστος, brahistos - najkrajši, χρόνος, kronos - čas) je ravninska krivulja, po kateri masna točka z začetno hitrostjo iz neke točke (A) pride v drugo točko (B) v najkrajšem času pod pogojem, da nanjo deluje konstanten gravitacijski pospešek in da trenje ni prisotno.

Brahistokrona je cikloida

Postavimo izhodišče koordinatnega sistema z vodoravno osjo x in navpično osjo y v začetno lego drobnega telesa. Po Huygensovi enačbi ali po izreku o kinetični in potencialni energiji je:

${1 \over 2}mv^{2}-mgy=0\!\,.$

Za čas, ki ga potrebuje telo iz začetne do končne točke, dobimo:

$t=\int {ds \over v}=\int _{(1)}^{(2)}{ds \over {\sqrt {2gy}}}\!\,,$

če je $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}$ kvadrat elementa ločne dolžine. Določiti moramo tir y(x), pri katerem je pri dani začetni in končni točki čas t najkrajši. Takšne naloge sodijo v variacijski račun. Rešitev je cikloida, parametrično:

$x=r(\varphi -\sin \varphi )\!\,,$

$y=r(1-\cos \varphi )\!\,.$

Krivuljo dobimo, če si mislimo, da se krog s polmerom r kotali po spodnji strani x. Hitro ugotovimo, da je:

${\begin{aligned}ds&={\sqrt {\left({dx \over d\varphi }\right)^{2}+\left({dy \over d\varphi }\right)^{2}}}d\varphi ={\sqrt {r^{2}(1-\cos \varphi )^{2}+r^{2}\sin ^{2}\varphi }}d\varphi ={\sqrt {2r^{2}(1-\cos \varphi )}}d\varphi \\&={\sqrt {2ry}}d\varphi \!\,\end{aligned}}$

in čas:

$t={\sqrt {r \over g}}\varphi \!\,.$

Zgodovina

Problem brahistokrone je postavil Johann Bernoulli in zanj leta 1696 prvi objavil rešitev, ki pa naj bi bila v resnici rešitev njegovega brata Jakoba. Spada med variacijske probleme, Johann Bernoulli pa velja za očeta variacijskega računa.