Limita funkcije: Razlika med redakcijama
m dp |
|||
Vrstica 5: | Vrstica 5: | ||
Limita funkcije v točki ''a'' je enaka funkcijski vrednosti ''f(a)'', če in samo če je funkcija v točki ''a'' [[zveznost|zvezna]]. |
Limita funkcije v točki ''a'' je enaka funkcijski vrednosti ''f(a)'', če in samo če je funkcija v točki ''a'' [[zveznost|zvezna]]. |
||
==Matematična definicija== |
== Matematična definicija == |
||
Limita funkcije je definirana s pomočjo [[limita zaporedja|limite zaporedja]]. |
Limita funkcije je definirana s pomočjo [[limita zaporedja|limite zaporedja]]. |
||
Naj bo ''f'' realna funkcija realne spremenljivke. Imejmo [[zaporedje]] ''x<sub>n</sub>'', ki ima [[limita zaporedja|limito]] ''a''. Za to zaporedje tvorimo ustrezno zaporedje vrednosti ''y<sub>n</sub>'' = ''f(x<sub>n</sub>)''. Če ima dobljeno zaporedje ''y<sub>n</sub>'' limito ''b'' in je ta limita neodvisna od tega, kako izberemo zaporedje ''x<sub>n</sub>'', ki gre proti ''a'', potem število ''b'' imenujemo limita funkcije ''f'' v točki ''a''. |
Naj bo ''f'' realna funkcija realne spremenljivke. Imejmo [[zaporedje]] ''x<sub>n</sub>'', ki ima [[limita zaporedja|limito]] ''a''. Za to zaporedje tvorimo ustrezno zaporedje vrednosti ''y<sub>n</sub>'' = ''f(x<sub>n</sub>)''. Če ima dobljeno zaporedje ''y<sub>n</sub>'' limito ''b'' in je ta limita neodvisna od tega, kako izberemo zaporedje ''x<sub>n</sub>'', ki gre proti ''a'', potem število ''b'' imenujemo limita funkcije ''f'' v točki ''a''. |
||
==Računanje limite== |
== Računanje limite == |
||
===Krajšanje=== |
=== Krajšanje === |
||
V praksi limito funkcije najpogosteje izračunamo tako, da enačbo funkcije okrajšamo in potem vstavimo ustrezni ''a''. |
V praksi limito funkcije najpogosteje izračunamo tako, da enačbo funkcije okrajšamo in potem vstavimo ustrezni ''a''. |
||
Zgled: funkcija <math>f(x)=\frac{x^2-9}{4x-12}</math> pri ''x'' = 3 ni definirana (deljenje z 0) in torej tam ni zvezna. Če ulomek okrajšamo, dobimo limito: |
Zgled: funkcija <math>f(x)=\frac{x^2-9}{4x-12}</math> pri ''x'' = 3 ni definirana (deljenje z 0) in torej tam ni zvezna. Če ulomek okrajšamo, dobimo limito: |
||
<math>\lim_{x\to3} \frac{x^2-9}{4x-12}= \lim_{x\to3} \frac{(x-3)(x+3)}{4(x-3)}= \lim_{x\to3} \frac{x+3}{4} = \frac{3+3}{4} =\frac{3}{2}</math> |
: <math>\lim_{x\to3} \frac{x^2-9}{4x-12}= \lim_{x\to3} \frac{(x-3)(x+3)}{4(x-3)}= \lim_{x\to3} \frac{x+3}{4} = \frac{3+3}{4} =\frac{3}{2}</math> |
||
Torej za zgornjo funkcijo velja: če se ''x'' približuje vrednosti 3, se ''f(x)'' približuje vrednosti 3/2. |
Torej za zgornjo funkcijo velja: če se ''x'' približuje vrednosti 3, se ''f(x)'' približuje vrednosti 3/2. |
||
==L'Hôpitalovo pravilo== |
== L'Hôpitalovo pravilo == |
||
Drugi postopek, ki se ga v praksi pogosto uporablja, je [[ |
Drugi postopek, ki se ga v praksi pogosto uporablja, je [[l'Hôpitalovo pravilo]]. Če se števec in imenovalec funkcije oba približujeta vrednosti 0 (ko gre ''x'' proti ''a''), potem lahko števec in imenovalec odvajamo in velja: |
||
:<math>\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}</math> |
:<math>\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}</math> |
||
Zgled za uporabo |
Zgled za uporabo l'Hôpitalovega pravila: |
||
<math>\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x}=\frac{\cos 0}{1} = 1 </math> |
: <math>\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x}=\frac{\cos 0}{1} = 1 </math> |
||
[[Kategorija:Lastnosti funkcij]] |
[[Kategorija:Lastnosti funkcij]] |
Redakcija: 16:30, 16. april 2008
Limíta fúnkcije v točki a je število, ki se mu vrednost funkcije f(x) približuje, ko se vrednost spremenljivke x približuje danemu številu a.
Limito funkcije v točki a označimo (beri: "limita f(x), ko gre x proti a).
Limita funkcije v točki a je enaka funkcijski vrednosti f(a), če in samo če je funkcija v točki a zvezna.
Matematična definicija
Limita funkcije je definirana s pomočjo limite zaporedja.
Naj bo f realna funkcija realne spremenljivke. Imejmo zaporedje xn, ki ima limito a. Za to zaporedje tvorimo ustrezno zaporedje vrednosti yn = f(xn). Če ima dobljeno zaporedje yn limito b in je ta limita neodvisna od tega, kako izberemo zaporedje xn, ki gre proti a, potem število b imenujemo limita funkcije f v točki a.
Računanje limite
Krajšanje
V praksi limito funkcije najpogosteje izračunamo tako, da enačbo funkcije okrajšamo in potem vstavimo ustrezni a.
Zgled: funkcija pri x = 3 ni definirana (deljenje z 0) in torej tam ni zvezna. Če ulomek okrajšamo, dobimo limito:
Torej za zgornjo funkcijo velja: če se x približuje vrednosti 3, se f(x) približuje vrednosti 3/2.
L'Hôpitalovo pravilo
Drugi postopek, ki se ga v praksi pogosto uporablja, je l'Hôpitalovo pravilo. Če se števec in imenovalec funkcije oba približujeta vrednosti 0 (ko gre x proti a), potem lahko števec in imenovalec odvajamo in velja:
Zgled za uporabo l'Hôpitalovega pravila: