Ekstrem funkcije

Ekstrém fúnkcije je v matematiki točka, kjer funkcija doseže največjo vrednost (maksimum) ali najmanjšo vrednost (minimum).

Funkcija ene realne spremenljivke

V lokalnem ekstremu je tangenta vodoravna (modro: lokalni maksimum; rdeče: lokalni minimum)

Realna funkcija ene realne spremenljivke doseže ekstrem v točki x₀, kjer je vrednost funkcije največja oziroma najmanjša glede na dano množico vrednosti neodvisne spremenljivke x. Ta množica vrednosti je lahko poljubna, najpogosteje pa se v matematiki srečajo naslednji primeri:

• Lokalni minimum ali relativni minimum je točka, kjer funkcija doseže najmanjšo vrednost v neki (majhni) okolici.
• Globalni minimum ali absolutni minimum je točka, kjer funkcija doseže najmanjšo vrednost sploh (na celotnem definicijskem območju).
• Lokalni maksimum ali relativni maksimum je točka, kjer funkcija doseže največjo vrednost v neki (majhni) okolici.
• Globalni maksimum ali absolutni maksimum je točka, ker funkcija doseže največjo vrednost sploh (na celotnem definicijskem območju).

Če je funkcija f zvezna in odvedljiva, potem je vsak lokalni ekstrem tudi stacionarna točka te funkcije: to pomeni, da je v tej točki tangenta vodoravna in da je odvod funkcije enak 0. Zaradi tega si pri iskanju maksimumov in minimumov pogosto pomagamo z odvodom. Potrebno pa je nekaj previdnosti, saj je odvod lahko enak nič tudi v drugih točkah (vodoravni prevoj). Rečemo, da je pogoj $f'(x)=0\!\,$ potreben vendar ne zadosten pogoj za eksistenco ekstrema.

Funkcija več spremenljivk

Maksimum funkcije dveh spremenljivk

Sedlasta točka ni ekstrem funkcije dveh spremenljivk

Formalna definicija je za funkcijo dveh ali več spremenljivk enaka: ekstrem je točka, kjer je vrednst funkcije največja ali najmanjša.

Če je taka funkcija zvezna in odvedljiva, potem se iščejo ekstremi v točkah, kjer so parcialni odvodi funkcije enaki 0. Tudi v tem primeru gre za potreben a ne zadosten pogoj: obstajajo tudi točke, ki niso ekstremi, čeprav so parcialni odvodi enaki 0 (prevoji, sedlaste točke).