Ekstrem funkcije

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

V matematiki je ekstrém fúnkcije točka, kjer funkcija doseže največjo vrednost (maksimum) ali najmanjšo vrednost (minimum).

Funkcija ene realne spremenljivke[uredi | uredi kodo]

V lokalnem ekstremu je tangenta vodoravna (modro: lokalni maksimum; rdeče: lokalni minimum)

Realna funkcija ene realne spremenljivke doseže ekstrem v točki x0, kjer je vrednost funkcije največja oziroma najmanjša glede na dano množico vrednosti neodvisne spremenljivke x. Ta množica vrednosti je lahko poljubna, najpogosteje pa v matematiki srečamo naslednje primere:

  • Lokalni minimum ali relativni minimum je točka, kjer funkcija doseže najmanjšo vrednost v neki (majhni) okolici.
  • Globalni minimum ali absolutni minimum je točka, kjer funkcija doseže najmanjšo vrednost sploh (na celotnem definicijskem območju).
  • Lokalni maksimum ali relativni maksimum je točka, kjer funkcija doseže največjo vrednost v neki (majhni) okolici.
  • Globalni maksimum ali absolutni maksimum je točka, ker funkcija doseže največjo vrednost sploh (na celotnem definicijskem območju).

Če je funkcija f zvezna in odvedljiva, potem je vsak lokalni ekstrem tudi stacionarna točka te funkcije: to pomeni, da je v tej točki tangenta vodoravna in da je odvod funkcije enak 0. Zaradi tega si pri iskanju maksimumov in minimumov pogosto pomagamo z odvodom. Potrebno pa je nekaj previdnosti, saj je odvod lahko enak nič tudi v drugih točkah (vodoravni prevoj). Pravimo, da je pogoj f'(x)=0\!\, potreben vendar ne zadosten pogoj za eksistenco ekstrema.

Funkcija več spremenljivk[uredi | uredi kodo]

Maksimum funkcije dveh spremenljivk
Sedlasta točka ni ekstrem funkcije dveh spremenljivk

Formalna definicija je za funkcijo dveh ali več spremenljivk enaka: ekstrem je točka, kjer je vrednst funkcije največja ali najmanjša.

Če je taka funkcija zvezna in odvedljiva, potem iščemo ekstreme v točkah, kjer so parcialni odvodi funkcije enaki 0. Tudi v tem primeru gre za potreben a ne zadosten pogoj: obstajajo tudi točke, ki niso ekstremi, čeprav so parcialni odvodi enaki 0 (prevoji, sedlaste točke).