Midyjev izrek

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Midyjev izrek v matematiki obravnava desetiški razvoj ulomkov oblike a/p, kjer je p praštevilo, ulomek a/p pa je okrajšani neskončni desetiški ulomek s sodo periodo.[1] Imenuje se po francoskem matematiku E. Midyju.[2] Če je perioda desetiškega razvoja ulomka a/p v intervalu (0,1) enaka 2n, velja a=1 in:

 \frac{1}{p}=0,\overline{a_1a_2a_3\dots a_na_{n+1}\dots a_{2n}} \!\, ,

števke v drugi polovici ponavljajoče desetiške periode pa so komplementarne glede na 9 z odgovarjajočimi števkami v prvi polovici, oziroma:

 a_{i}+a_{i+n}=9 \!\, ,
 a_{1} \dots a_{n}+a_{n+1} \dots a_{2n}=10^{n}-1 \!\, .

Ta značilnost se imenuje tudi Midyjeva značilnost ali značilnost devetic.[3] Vodilne ničle v nizih zanemarjamo.

Na primer:

\frac{1}{7}=0,\overline{142857}\text{ in }142+857=999 \!\, ,
\frac{1}{11}=0,\overline{09}\text{ in }0+9=9 \!\, ,
\frac{1}{13}=0,\overline{076923}\text{ in }076+923=999 \!\, ,
\frac{1}{17}=0,\overline{0588235294117647}\text{ in }05882352+94117647=99999999 \!\, .

Prva najmanjša praštevila za katera velja Midyjev izrek so (OEIS A028416):

7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 73, 89, 97, 101, 103, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 157, 167, 179, 181, 193, 197, 211, ...

Midyjev izrek za nekatera sestavljena števila[uredi | uredi kodo]

Midyjev izrek velja tudi za nekatere potence praštevil in za sestavljena števila m, deljiva z 10^{p}+1.[1][4] Na primer:

 \begin{align}
\frac{1}{7^{2}} &=\frac{1}{49}=0,\overline{020408163265306122448979591836734693877551} \\
 &\text{ in }020408163265306122448+979591836734693877551=999999999999999999999 \!\, , 
\end{align}
\frac{1}{11^{2}} = \frac{1}{121}=0,\overline{0082644628099173553719}\text{ in }00826446280+99173553719=99999999999 \!\, ,

Na primer 10^{3}+1=7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001 imajo poleg praštevil 7, 11 in 13 Midyjevo značilnost tudi njihovi produkti 77, 91, 143 in 1001:

\frac{1}{77}=0,\overline{012987}\text{ in }12+987=999 \!\, ,
\frac{1}{91}=0,\overline{010989}\text{ in }10+989=999 \!\, ,
\frac{1}{143}=0,\overline{006993}\text{ in }6+993=999 \!\, .

Midyjev izrek velja tudi za nekatera sestavljena števila, ki so mnogokratniki praštevil s sodimi dolžinami period:

14, 22, 26, 28, 34, 35, 38, 44, 46, 52, 55, 56, 58, 65, 68, 70, 76, 85, 88, 92, 94, 95, 98, ...

ne velja pa za mnogokokratnike, kot so:

21, 33, 39, 42, 51, 57, 63, 66, 69, 78, 84, 87, 99, 102, ...

Prva najmanjša števila za katera velja Midyjev izrek so tako (OEIS A187040):

7, 11, 13, 14, 17, 19, 22, 23, 26, 28, 29, 34, 35, 38, 44, 46, 47, 49, 52, 55, 56, 58, 59, 61, 65, 68, 70, 73, 76, 77, 85, 88, 89, 91, 92, 94, 95, 97, 98, ...

Razširjeni Midyjev izrek[uredi | uredi kodo]

Če je k delitelj dolžine sode periode ulomka a/p (p praštevilo), razširjeni Midyjev izrek pravi, da je vsota nizov po k števk enaka mnogokratniku 10^{k}-1.[5] Poleg tega velja tudi, če je k enak 2 ali 3, je vsota nizov točno enaka 10^{k}-1.

Na primer:

 \frac{1}{7}=0,\overline{142857} \!\, ,

Če razdelimo niz periode na dele z 2 ali 1 števko, dobimo:

 14+28+57=99 \quad (\equiv 0 \pmod{10^{2} - 1}) \!\,
 1+4+2+8+5+7=27=3 \cdot 9 \quad (\equiv 0 \pmod{10^{1} - 1}) \!\, .
\frac{1}{17}=0,\overline{0588235294117647} \!\, .

Če razdelimo niz periode (dolžina periode je 17-1=16) na dele s 4, 2 ali 1 števko, dobimo

 0588+2352+9411+7647=1998=2 \cdot 9999 \quad (\equiv 0 \pmod{10^{4} - 1}) \!\,
 05+88+23+52+94+11+76+47=396=4 \cdot 99 \quad (\equiv 0 \pmod{10^{2} - 1}) \!\,
 0+5+8+8+2+3+5+2+9+4+1+1+7+6+4+7=72=8 \cdot 9 \quad (\equiv 0 \pmod{10^{1} - 1}) \!\, .
 \frac{1}{19}=0,\overline{052631578947368421} \!\, ,

kjer je dolžina periode enaka 19-1=18. Če razdelimo niz periode na dele s 6, 3, 2 ali 1 števko, dobimo:

 052631+578947+368421=999999 \quad (\equiv 0 \pmod{10^{6} - 1}) \!\,
 052+631+578+947+368+421=2997=3 \cdot 999 \quad (\equiv 0 \pmod{10^{3} - 1}) \!\,
 05+26+31+57+89+47+36+84+21=396=4 \cdot 99 \quad (\equiv 0 \pmod{10^{2} - 1}) \!\,
 0+5+2+6+3+1+5+7+8+9+4+7+3+6+8+4+2+1=81=9 \cdot 9 \quad (\equiv 0 \pmod{10^{1} - 1}) \!\, .

Midyjev izrek za druge osnove[uredi | uredi kodo]

Midyjev izrek in njegova razširitev nista odvisna od posebnih značilnosti desetiškega razvoja, tako da veljata v poljubni osnovi b, kjer 10k − 1 nadomesti bk − 1, seštevanje pa poteka v osnovi b. Na primer osmiško:

 \frac{1}{19}=0,\overline{032745}_{8} \!
 032_{8}+745_{8}=777_{8} \!\,
 03_{8}+27_{8}+45_{8}=77_{8} \!\, .

Dokaz Midyjevega izreka[uredi | uredi kodo]

Midyjev izrek se lahko dokaže s prijemi teorije grup, pa tudi z elementarno algebro in modularno aritmetiko.

Naj je p praštevilo, a/p pa ulomek med 0 in 1. Predpostavimo, da ima perioda v razvoju ulomka a/p v osnovi b dolžino , kar da:

 \begin{align}
& \frac{a}{p} = [0,\overline{a_{1}a_{2} \dots a_{\ell}}]_{b} \\[6pt]
& \Rightarrow\frac{a}{p}b^{\ell} = [a_{1}a_{2} \dots a_{\ell}.\overline{a_{1}a_{2} \dots a_{\ell}}]_{b} \\[6pt]
& \Rightarrow\frac{a}{p}b^{\ell} = N+[0,\overline{a_{1}a_{2} \dots a_{\ell}}]_{b}=N+\frac{a}{p} \\[6pt]
& \Rightarrow\frac{a}{p} = \frac{N}{b^{\ell}-1}
\end{align}

kjer je N celo število, katerega razvoj v osnovi b je niz a1a2...a.

b  − 1 je mnogokratnik p, ker je(b  − 1)a/p celo število. Poleg tega bn−1 ni mnogokratnik p za katerokoli vrednost n manjšo od , saj bi bila potem dolžina ponavljajoče se periode ulomka a/p v osnovi b manjša od .

Naj je sedaj  = hk. Potem je b  − 1 mnogokratnik bk − 1. Naj je b  − 1 = m(bk − 1), tako, da velja:

 \frac{a}{p}=\frac{N}{m(b^{k}-1)} \!\, .

b  − 1 je mnogokratnik p; bk − 1 ni mnogokratnik p (ker je k manj kot  ); p pa je praštevilo, zato mora biti m mnogokratnik p,

 \frac{am}{p}=\frac{N}{b^k-1} \!\,

pa je celo število. Tako je:

 N\equiv0\pmod{b^k-1} \!\, .

Sedaj razdelimo niz a1a2...a na h enakih delov dolžine k, in ti naj predstavljajo cela števila N0...Nh − 1 v osnovi b, tako, da je:

 \begin{align}
N_{h-1} & = [a_{1} \dots a_{k}]_{b} \\
N_{h-2} & = [a_{k+1} \dots a_{2k}]_{b} \\
& {}\  \   \vdots \\
N_{0} & = [a_{l-k+1} \dots a_{l}]_{b}
\end{align}

Za dokaz razširjenega Midyjevega izreka v osnovi b moramo pokazati, da je vsota h celih števil Ni mnogokratnik bk − 1.

Ker je bk kongruentno 1 modulo bk − 1, bo tudi vsaka potenca bk kongruentna 1 modulo bk − 1. Zato:

 N=\sum_{i=0}^{h-1}N_{i}b^{ik}=\sum_{i=0}^{h-1}N_{i}(b^{k})^{i}
 \Rightarrow N \equiv \sum_{i=0}^{h-1}N_{i} \pmod{b^{k}-1}
 \Rightarrow \sum_{i=0}^{h-1}N_{i} \equiv 0 \pmod{b^{k}-1} \!\, ,

kar dokazuje razširjeni Midyjev izrek v osnovi b.

Za dokaz izvirnega Midyjevega izreka vzamemo posebni primer, kjer je h = 2. N0 in N1 sta oba predstavljena z nizoma s k števkami v osnovi b, tako da za oba velja:

 0 \leq N_{i} \leq b^{k}-1 \!\, .

N0 in N1 ne moreta bita oba enaka 0 (saj bi bilo a/p = 0), in ne moreta biti oba enaka bk − 1 (ker bi bilo a/p = 1), tako da je:

 0 < N_{0}+N_{1} < 2(b^{k}-1) \!\, ,

in, ker je N0 + N1 mnogokratnik od bk − 1, sledi, da je:

 N_{0}+N_{1} = b^{k}-1 \!\, .

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ 1,0 1,1 Leavitt (1967).
  2. ^ Midy (1836).
  3. ^ García-Pulgarín, Giraldo (2009).
  4. ^ Lewittes (2007).
  5. ^ Abdul-Baki (2005).

Viri[uredi | uredi kodo]

  • Gil, Juan B.; Weiner, Michael D. (2006). On cyclic numbers and an extension of Midy's theorem. arXiv:math/0605347v1. 
  • Midy, E. (1836). De Quelques Propri´et´es des Nombres et des Fractions D´ecimales P´eriodiques. Nantes. str. 21. 
  • Rademacher, Hans Adolph; Toeplitz, Otto (1957). The Enjoyment of Mathematics: Selections from Mathematics for the Amateur. Princeton, NJ: Princeton University Press. str. 158–160.