Lagrangeevo število

Lagrangeeva števila so v matematiki zaporedja števil, ki se pojavljajo v mejah pri aproksimaciji iracionalnih števil z racionalnimi števili. Z njimi je povezan Hurwitzev izrek.

Definicija

Hurwitz je izboljšal Dirichletov kriterij iracionalnosti v izjavo, da je realno število $\alpha \,$ iracionalno če in samo če obstaja neskončno mnogo takšnih racionalnih števil $p/q\,$, zapisanih okrajšano, da velja:

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}\!\,.$

To je izboljšava Dirichletovega rezultata, ki je imel na desni strani člen $1/q^{2}\,$. Hurwitzeva vrednost je najboljša možna, ker je število zlatega reza $\Phi \,$ iracionalno, vendar, če se v zgornjem izrazu √5 zamenja s poljubnim večjim številom, bo moč najti le končno mnogo racionalnih števil, za katere velja neenakost za $\alpha =\Phi \,$.

Hurwitz je pokazal tudi, da če se $\Phi \,$ ne upošteva, in se iz njega izpeljejo števila, se lahko poveča število √5. Pokazal je, da se ga lahko nadomesti s številom 2√2. Spet je sedaj ta meja najboljša možna v novem primeru, vendar je sedaj problem število √2. Če število √2 ni dovoljeno, se lahko na desni strani neenakosti poviša s števila 2√2 na (√221)/5. Ta ponavljajoči proces da neskončno zaporedje števil, ki konvergirajo k 3. Ta števila se imenujejo Lagrangeeva števila po Josephu Louisu Lagrangeu. Prva Lagrangeeva števila so:

${\sqrt {5}}=2,236067977499789696409173668731276235440618\ldots \!\,,$ (OEIS A002163),

$2{\sqrt {2}}={\sqrt {8}}=2,828427124746190097603377448419396157139343\ldots \!\,,$ (OEIS A010466),

${\frac {\sqrt {221}}{\sqrt {5}}}=2,973213749463701104522401642786279330289797\ldots \!\,,$ (OEIS A200991),

${\frac {\sqrt {1517}}{\sqrt {13}}}=2,996052629869299469234139402626318639758302\ldots \!\,.$

Povezava s števili Markova

n-to Lagrangeevo število $L_{n}\,$ je dano z:

$L_{n}={\sqrt {9-{\frac {4}{{m_{n}}^{2}}}}}\!\,,$

kjer je $m_{n}\,$ n-to število Markova,, to je takšno n-to najmanjše število m, da ima kvadratna enačba Markova:

$m^{2}+x^{2}+y^{2}=3mxy\!\,$

rešitev v pozitivnih celih številih $x\,$ in $y\,$.

Glej tudi

• Freimanova konstanta
• spekter Markova

Viri

• Cassels, John William Scott (1957), An introduction to Diophantine approximation, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, zv. 45, Cambridge University Press, Zbl 0077.04801
• Conway, John Horton; Guy, Richard Kenneth (1996), The Book of Numbers, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97993-X

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Lagrange number«. MathWorld.
• Waldschmidt, Michel (2014), Introduction to Diophantine methods irrationality and transcendence (PDF) (v angleščini), str. 24–26, arhivirano iz prvotnega spletišča (PDF) dne 9. februarja 2012, pridobljeno 20. januarja 2016 - spletni zapiski predavanj