Izrek o simetrali kota

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Jump to navigation Jump to search
Po izreku velja:

Izrèk o simetráli kóta v ravninski geometriji povezuje dolžine nasprotnih stranic kotov z dolžinami drugih dveh stranic trikotnika: kotna simetrala trikotnika deli njegovo nasprotno stranico na dela, ki sta sorazmerna z drugima dvema stranicama.

V trikotniku ABC naj simetrala notranjega kota A seka stranico a (BC) v točki D. Po izreku je razmerje dolžin daljic BD in DC enako razmerju dolžin stranic c (AB) in b (AC):

Izrek velja tudi za simetrale zunanjih kotov.

Posplošitev[uredi | uredi kodo]

V splošnem velja tudi, da če je D poljubna točka na stranici a (BC), potem:

Če je AD simetrala kota BAC, je:

kar da prejšnjo neposplošeno obliko izreka.

Splošna oblika izreka velja tudi, če točka D leži kjerkoli na nosilki stranice a (BC) tudi zunaj trikotnika, kjer moramo upoštevati edino pravilno smer daljic (vektorji) in kotov.

Harmonična četverka točk[uredi | uredi kodo]

Točke C, B, D in E tvorijo harmonično četverko točk

Simetrala notranjega kota s točko D in simetrala zunanjega kota s točko E razdeli stranico BC (a) tako, da tvorijo harmonično četverko točk, in velja:

Množica vseh točk, za katere je razmerje njihovih razdalj od dveh stalnih točk - v tem primeru krajišč stranice a (B in C) - konstantno (enako ):

je Apolonijev krog. Izjemen je primer za , ko točke ležijo na simetrali daljice BC, in je točka D razpolovišče BC, ustrezna točka E pa ne obstaja. Razmerje razdalj označujejo s k ali pa npr. z obratno vrednostjo , .