Cramerjevo pravilo

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Cramerjevo pravilo se uporablja v linearni algebri za reševanje sistema linearnih enačb, ki vsebuje toliko enačb kot je v sistemu neznank. Pravilo je uporabno samo, če obstoja ena rešitev.

Imenuje se po švicarskem matematiku Gabrielu Cramerju (1704 – 1752), ki ga je objavil leta 1750.

Uporabljamo ga lahko tudi za druge vrste števil (obsege) in ne samo za realna števila. Pravilo je neprimerno za uporabo pri sistemih z večjim številom neznank. Za takšne primere je boljše, če uporabimo katero izmed drugih metod reševanja sistema linearnih enačb (npr. Gaussova eliminacijska metoda).

Opis pravila[uredi | uredi kodo]

Predpostavimo, da imamo sistem n linearnih enačb

To lahko zapišemo v matrični obliki kot

ali

.

V tem primeru dobimo rešitve kot

.

kjer je

  • matrika, kjer smo i-ti stolpec nadomestili stolpcem .
  • matrika sistema, ki ima za elemente koeficiente spremenljivk

Zgled[uredi | uredi kodo]

Imamo naslednji sistem linearnih enačb


ali

.

Determinante, ki jih potrebujemo za izračun rešitev sistema linearnih enačb, so:

Rešitev sistema je:

kjer je

  • vrednost determinante
  • determinanta matrike , kjer je prvi stolpec zamenjan s stolpcem
  • determinanta matrike , kjer je drugi stolpec zamenjan s stolpcem
  • determinanta matrike , kjer je tretji stolpec s stolpcem

V nadaljevanju je prikazan zgled reševanja sistema enačb

Razširjena matrika sistema enačb je:

Po Cramerjevem pravilu dobimo rešitve sistema enačb:

.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]