Carlemanova matrika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Carlemanova matrika je matrika, ki se uporablja za pretvorbo kompozituma funkcij v množenje matrik. Druga področja uporabe so še v teoriji iteracij in verjetnosti ter v Markovskih verigah.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Calermanova matrika funkcije je določena z

pri tem pa velja

Tako lahko zapišemo določanje funkcije kot

,

kar pa je skalarni produkt prve vrstice matrike z vektorjem .

Množenje z drugo vrstico matrike nam da drugo potenco funkcije

.

Lahko pa določimo tudi ničelno potenco funkcije . V matriki predpostavimo, da vrstica 0 vsebuje ničle povsod, razen na prvem mestu. To nam da

Skalarni produkt matrike z vektorjem nam da vektor

.

Bellova matrika[uredi | uredi kodo]

Bellova matrika funkcije je določena kot

pri tem pa velja

To pa pomeni, da je Bellova matrika transponirana Carlemanova matrika.

Primeri[uredi | uredi kodo]

Carlemanova matrika konstante je:

Carlemanova matrika identične funkcije je:

Carlemanova matrika dodane konstante je:

Carlemanova matrika zmnožka s konstanto je:

Carlemanova matrika linearne funkcije je:

Carlemanova matrika funkcije je:

Carlemanova matrika funkcije je:

.

Lastnosti matrike[uredi | uredi kodo]

Obe matriki (Carlemanova in Bellova) zadoščata osnovnima odnosoma:

kar dela Carlemanovo matriko kot neposredno predstavitev funkcije in Bellovo matriko kot nasprotno predstavitev funkcije . V zgornjih izrazih pomeni kompozitum funkcij .

Razen tega veljata še naslednji lastnosti:

kjer je

iteracija funkcije

kjer je

inverzna funkcija (če je Calermanova matrika obrnljiva).