Von Staudt-Clausenov izrek

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Von Staudt-Clausenov izrek je v teoriji števil izrek o ulomljenem delu Bernoullijevih števil. Če k Bernoullijevemu številu Bn prištejemo 1/p za vsako takšno praštevilo p, da p - 1 deli n, dobimo celo število.

Izrek omogoča zapis imenovalcev neničelnih Bernoullijevih števil Bn kot produkt vseh takšnih praštevil p, da p - 1 deli n. Zaradi tega so imenovalci deljivi brez kvadrata in deljivi s 6.

Izrek sta neodvisno odkrila Karl von Staudt (1798–1867) in Thomas Clausen (1801–1885) leta 1840. Izrek je odkril tudi Ramanujan.[1]

Von Staudt-Clausenova formula je dana z[2]:

 (-1)^{n} B_{2n} \equiv \sum_{p\in \mathbb{P} \atop (p-1)|2n} \frac{1}{p} \pmod{1}; \quad n > 0 \!\, ,

oziroma z[1]:

 B_{2n} = A_{n} - \sum_{p\in \mathbb{P} \atop (p-1)|2n} \frac{1}{p}; \quad n > 0 \!\, ,

kjer je A_{n} celo število (OEIS A000146).

Za prvih nekaj neničelnih Bernoullijevih števil je vsota enaka:

 B_{2} = 1 - 1/2 - 1/3 = 1/6 \!\, ,
 B_{4} = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/5 = -1/30 \!\, ,
 B_{6} = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/7 = 1/42 \!\, ,
 B_{8} = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/5 = -1/30 \!\, ,
 B_{10} = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/11 = 5/66 \!\, ,
 B_{12} = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/5 - 1/7 - 1/13 = -691/2730 \!\, ,
 B_{14} = 2 - 1/2 - 1/3 = 7/6 \!\, ,
 B_{16} = -6 - 1/2 - 1/3 - 1/5 - 1/7 - 1/13 = -3617/510 \!\, ,
 B_{18} = 56 - 1/2 - 1/3 - 1/5 - 1/11 = 43867/798 \!\, ,
 B_{20} = -528 - 1/2 - 1/3 - 1/5 - 1/11 = -174611/330 \!\, .

Praštevila, ki nastopajo v imenovalcih, tvorijo zaporedje (OEIS A080092):

2, 3, 2, 3, 5, 2, 3, 7, 2, 3, 5, 2, 3, 11, 2, 3, 5, 7, 13, 2, 3, 2, 3, 5, 17, 2, 3, 7, 19, 2, 3, 5, 11, 2, 3, 23, 2, 3, 5, 7, 13, 2, 3, ...

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ 1,0 1,1 Weisstein.
  2. ^ Fee, Plouffe.

Viri[uredi | uredi kodo]