Gaussov snop

Prečni gaussov profil laserskega snopa

Gaussov snop je snop elektromagnetnega valovanja, katerega prečno komponento opišemo z Gaussovo funkcijo. Snope gaussove oblike izračunamo kot rešitve obosne Helmholzove enačbe, v praksi pa jih najdemo predvsem v osnovnem laserskem žarku. Gaussovi snopi se imenujejo po nemškem matematiku in fiziku Johannu Carlu Friedrichu Gaussu.

Matematična oblika

Amplitudo elektromagnetnega valovanja zapišemo v obliki:

$E(\rho,z) = E_0 \frac{w_0}{w(z)} \exp \left( \frac{-\rho^2}{w^2(z)}\right) \exp \left( -ikz -ik \frac{\rho^2}{2R(z)} +i \zeta(z) \right)\,$

kjer je:

$\rho = \sqrt{x^2+y^2}$ : oddaljenost od osi snopa,

$z$ : vzdolžna koordinata, merjena od najožjega dela snopa (grla),

$i$ : imaginarno število (za katerega velja $i^2 = -1$),

$k = { 2 \pi \over \lambda }$ : valovno število

$w_0 = w(0)$ : širina snopa v grlu

Funkcije $w (z), R(z)$ in $\zeta(z)$ vpeljemo spodaj.

Sorodno lahko zapišemo tudi porazdelitev intenzitete snopa:

$I(\rho,z) = I_0 \left( \frac{w_0}{w(z)} \right)^2 \exp \left( \frac{-2 \rho^2}{w^2(z)} \right)\ .$

Parametri snopa

Grafični prikaz parametrov

Širina snopa

Širino snopa $w(z)$, ki jo vpeljemo kot oddaljenost od osi $z$, pri kateri vrednost električne poljske jakosti pade na $1/e$ vrednosti na osi, izrazimo kot:

$w(z) = w_0 \, \sqrt{ 1+ {\left( \frac{z}{z_0} \right)}^2 } \ .$

pri čemer je za določeno valovno dolžino območje bližnjega polja $z_0$ enako:

$z_0= \frac{\pi w_0^2}{\lambda}$

Legi, kjer doseže širina snopa minimum, pravimo grlo. Širina snopa v grlu je $w_{0}$.

Območje bližnjega polja

Širina snopa v točkah $\pm z_0$ je:

$w(\pm z_0) = w_0 \sqrt{2} \,$

Razdaljo med tema dvema točkama označimo z $b$ in ji pravimo območje bližnjega polja ali dolžina grla:

$b = 2 z_0 = \frac{2 \pi w_0^2}{\lambda}\ .$

Krivinski radij

Ukrivljenost valovnih front, ki sestavljajo snop, opišemo s krivinskih radijem $R(z)$:

$R(z) = z \left[{ 1+ {\left( \frac{z_0}{z} \right)}^2 } \right] \ .$

Pri $z=0$ je krivinski radij neskončen in valovne fronte so ravnine. Najmanšo vrednost doseže pri $z=z_{0}$, kjer je:

$R(z) = 2 z_0\ .$

Krivinski radij se za $z > z_{0}$ veča in se za velike $z$ izraža kot:

$R(z) \approx z \ .$

Kompleksna ukrivljenost

Kompleksno ukrivljenost definiramo kot:

$q(z) = z - iz_0 \ ,$

z ostalimi parametri Gaussovega snopa jo povežemo preko recipročne kompleksne ukrivljenosti:

${ 1 \over q(z) } = { 1 \over z - iz_0 } = { z \over z^2 + z_0^2 } + i { z_0 \over z^2 + z_0^2 } = {1 \over R(z) } + i { \lambda \over \pi w^2(z) }.$

Fazni člen

Fazni člen oz. Gouyevo fazo izračunamo kot:

$\zeta(z) = \arctan \left( \frac{z}{z_0} \right).$

Divergenca snopa

V limiti $z \gg z_{0}$ širino snopa opišemo s približno zvezo

$w(z) \approx \frac{w_{0}}{z_{0}}z = \theta z \ .$

Divergenca snopa je izražena s kotom:

$\Theta = 2 \theta = 2 \frac{w_0}{z_0} \simeq \frac{2 \lambda}{\pi w_0} \qquad (\theta \mathrm{\ v \ radianih.})$

Divergenca snopa je sorazmerna z valovno dolžino ter obratno sorazmerna s širino grla. Dobro kolimirane žarke dobimo torej tako, da uporabimo snop s širokim grlom in majhno valovno dolžino.

Snopi višjega reda

Osnovni Gaussov snop nam predstavlja rešitev obosnega (paraksialnega) približka Helmholzove enačbe, vendar ni edina rešitev te enačbe. Rešijo jo med drugimi tudi snopi višjih redov:

• Hermite-Gaussov snop (v kartezičnih koordinatah)
• Laguerre-Gaussov snop (v cilindričnih koordinatah)

V idealnem primeru (stabilen resonator, homogeno pomnoževalno sredstvo, popolnoma ravna ali pa parabolična zrcala,...) laser ustvarja osnovni Gaussov snop (pravimo mu tudi $TEM_{00}$ način delovanja). V realnem laserju različni efekti (na primer spreminjanje optične homogenosti pomnoževalnega sredstva zaradi segrevanja) pripomorejo k popačitvi osnovne Gaussove oblike, kar opišemo z bolj kompliciranimi funkcijami (Hermitovo, Laguerrovo,...).

Literatura

• Saleh, B.E.A. & Teich, M.C. (1991). Fundamentals of Photonics. New York: John Wiley & Sons, str. 80-107. ISBN 0-471-83965-5
• Yariv, A. (1989). Quantum Electronics, 3. izdaja. Wiley. ISBN 0-471-60997-8
• Encyclopedia of Laser Physics and Technology