Funktor

Funktor je v teoriji kategorij posebna vrsta preslikav med kategorijami. Funktorje si lahko predstavljamo kot homomorfizme med kategorijami oziroma kot morfizme v kategoriji majhnih kategorij.

Funktorje so najprej obravnavali v algebrski topologiji, kjer so algebrski objekti povezani v topološke prostore.

Izraz funktor je izposojen od v Nemčiji rojenega filozofa Rudolfa Carnapa (1891 – 1970), ki pa je izraz uporabljal v lingvističnem okolju.

Definicija

Naj bosta $C \,$ in $D \,$ kategoriji. Funktor $F \,$ iz $C \,$ v $D \,$ je preslikava ,zuje vsak morfizem $f:X \to Y \epsilon C \,$ z morfizmom $F(f): F(X) \to f(Y) \epsilon D \,$ tako, da veljata naslednji trditvi

• • $F(\mathrm{id}_{X}) = \mathrm{id}_{F(X)}\,\!$ za vsak objekt $F(X) \epsilon D \,$
  • $F(g \circ f) = F(g) \circ F(f) \,$za vse morfizme $f:X \rightarrow Y\,\!$ in $g:Y\rightarrow Z.\,\!$.

To pa pomeni, da mora funktor ohranjati morfizem identičnosti in kompozitum morfizmov.

Kovariantnost in kontravariantnost

Običajne funktorje imenujemo kovariantni funktorji.

V matematiki je znanih več načinov izgrajevanja funktorjev za katere je značilno, da obrnejo morfizem ali pa obrnejo kompozitum. Te vrste funktorjev imenujemo kontravariantni funktorji. Če je $F \,$ funktor iz $C \,$ v $D \,$ kot preslikava za katero velja zuje vsak morfizem $f:X \to Y \epsilon C \,$ z morfizmom $F(f): F(X) \to f(Y) \epsilon D \,$ tako, da veljata naslednji trditvi

• • $F(\mathrm{id}_{X}) = \mathrm{id}_{F(X)}\,\!$ za vsak objekt $F(X) \epsilon D \,$
  • $F(g \circ f) = F(g) \circ F(f) \,$za vse morfizme $f:X \rightarrow Y\,\!$ in $g:Y\rightarrow Z.\,\!$.

Kontravariantne funktorje imenujemo tudi kofunktorji.

Bifunktorji in multifunktorji

Bifunktorje imenujemo tudi binarne funktorje. To so funktorji dveh argumentov.

Multifunktorji so posplošitev pojma funktor na $n \,$.

Zgledi

Naštetih je nekaj zgledov funktorjev:

• Konstantni funktor: Funktor, ki preslika ($C \to D \,$) vsak objekt iz $C \,$ v fiksni objekt $X \,$ v $D \,$.
• Endofunktor je funktor, ki preslika kategorijo v sebe.
• Identični funktor preslika objekt v sebe in morfizem v sebe.
• Diagonalni funktor, ki je definiran kot funktor s preslikavo iz $D \,$ v funktorsko kategorijo $D^{C} \,$, ki vsakemu objektu v $D \,$ priredi konstantni funktor temu objektu.

Zunanje povezave

• Funktor na MaFiRa (v slovenščini)
• Funktor na PlanetMath (v angleščini)
• Funktor (v angleščini)