Funktor

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Funktor je v teoriji kategorij posebna vrsta preslikav med kategorijami. Funktorje si lahko predstavljamo kot homomorfizme med kategorijami oziroma kot morfizme v kategoriji majhnih kategorij.

Funktorje so najprej obravnavali v algebrski topologiji, kjer so algebrski objekti povezani v topološke prostore.

Izraz funktor je izposojen od v Nemčiji rojenega filozofa Rudolfa Carnapa (1891 – 1970), ki pa je izraz uporabljal v lingvističnem okolju.[1]

Definicija[uredi | uredi kodo]

Naj bosta  C \, in  D   \, kategoriji. Funktor  F \, iz  C \, v  D   \, je preslikava [2] ,zuje vsak morfizem  f:X \to Y \epsilon C \, z morfizmom  F(f): F(X) \to f(Y) \epsilon D \, tako, da veljata naslednji trditvi

    • F(\mathrm{id}_{X}) = \mathrm{id}_{F(X)}\,\! za vsak objekt  F(X) \epsilon D \,
    •  F(g \circ f) = F(g) \circ F(f) \,za vse morfizme f:X \rightarrow Y\,\! in g:Y\rightarrow Z.\,\!.

To pa pomeni, da mora funktor ohranjati morfizem identičnosti in kompozitum morfizmov.

Kovariantnost in kontravariantnost[uredi | uredi kodo]

Običajne funktorje imenujemo kovariantni funktorji.

V matematiki je znanih več načinov izgrajevanja funktorjev za katere je značilno, da obrnejo morfizem ali pa obrnejo kompozitum. Te vrste funktorjev imenujemo kontravariantni funktorji. Če je  F \, funktor iz  C \, v  D \, kot preslikava za katero velja zuje vsak morfizem  f:X \to Y \epsilon C \, z morfizmom  F(f): F(X) \to f(Y) \epsilon D \, tako, da veljata naslednji trditvi

    • F(\mathrm{id}_{X}) = \mathrm{id}_{F(X)}\,\! za vsak objekt  F(X) \epsilon D \,
    •  F(g \circ f) = F(g) \circ F(f) \,za vse morfizme f:X \rightarrow Y\,\! in g:Y\rightarrow Z.\,\!.

Kontravariantne funktorje imenujemo tudi kofunktorji.

Bifunktorji in multifunktorji[uredi | uredi kodo]

Bifunktorje imenujemo tudi binarne funktorje. To so funktorji dveh argumentov.

Multifunktorji so posplošitev pojma funktor na  n \,.

Zgledi[uredi | uredi kodo]

Naštetih je nekaj zgledov funktorjev:

  • Konstantni funktor: Funktor, ki preslika ( C \to D \,) vsak objekt iz  C  \, v fiksni objekt  X  \, v  D  \,.
  • Endofunktor je funktor, ki preslika kategorijo v sebe.
  • Identični funktor preslika objekt v sebe in morfizem v sebe.
  • Diagonalni funktor, ki je definiran kot funktor s preslikavo iz  D \, v funktorsko kategorijo  D^{C} \,, ki vsakemu objektu v  D \, priredi konstantni funktor temu objektu.

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Carnap, The Logical Syntax of Language, p.13-14, 1937, Routledge & Kegan Paul
  2. ^ Jacobson (2009), stran 19, def. 1.2.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]