Faktorizacija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Faktorízacija (tudi razstávljanje ali razcépljanje) je matematični postopek, s katerim preoblikujemo število, izraz ali drug matematični objekt v obliko produkta faktorjev.

Obratni postopek je razčlenjevanje (preoblikovanje v obliko vsote členov).

Praštevilska faktorizacija[uredi | uredi kodo]

Glavni članek: praštevilski razcep.

Praštevilska faktorizacija (prafaktorizacija ali praštevilski razcep) je zapis naravnega števila v obliki produkta faktorjev, ki so vsi praštevila. Zgled: 66 = 2 · 3 · 11.

Faktorizacija mnogočlenikov[uredi | uredi kodo]

Faktorizacija mnogočlenikov (polinomov) je postopek preoblikovanja mnogočlenika v obliko produkta preprostejših mnogočlenikov.

V realnem lahko vsak polinom stopnje 3 ali več zapišemo kot produkt linearnih in kvadratnih polinomov (tj. polinomov stopnje 1 in 2).

Zgled razcepa v realnem: p(x)=x^3+x^2-4x+6=(x+3)(x^2-2x+2)

V kompleksnem lahko vsak polinom stopnje 2 ali več zapišemo kot produkt samih linearnih polinomov (tj. polinomov stopnje 1).

Zgled razcepa v kompleksnem: p(x)=x^3+x^2-4x+6=(x+3)(x-1-i)(x-1+i)

Nekaj enačb, ki jih pogosto uporabljamo pri razcepljanju mnogočlenikov:

  • razcep z izpostavljanjem: ab+ac=a(b+c)
  • razcep razlike kvadratov: a^2-b^2=(a-b)(a+b)
  • razcep vsote kvadratov (samo v kompleksnem): a^2+b^2=(a-bi)(a+bi)
  • razcep razlike kubov: a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
  • razcep vsote kubov: a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
  • razcep tričlenika po Viètovem pravilu:  x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

Faktorizacija trigonometričnih funkcij[uredi | uredi kodo]

Za preoblikovanje vsote trigonometričnih funkcij v produkt uporabljamo naslednje enačbe:

  • vsota sinusov: \sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}
  • razlika sinusov: \sin x-\sin y=2\sin\frac{x-y}{2} \cos\frac{x+y}{2}
  • vsota kosinusov: \cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}
  • razlika kosinusov: \cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}

Glej tudi[uredi | uredi kodo]