Faktorizacija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Skoči na: navigacija, iskanje

Faktorízacija (tudi razstávljanje ali razcépljanje) je matematični postopek, s katerim preoblikujemo število, izraz ali drug matematični objekt v obliko produkta faktorjev.

Obratni postopek je razčlenjevanje (preoblikovanje v obliko vsote členov).

Vsebina

[uredi] Praštevilska faktorizacija

Glavni članek: praštevilski razcep.

Praštevilska faktorizacija (prafaktorizacija ali praštevilski razcep) je zapis naravnega števila v obliki produkta faktorjev, ki so vsi praštevila. Zgled: 66 = 2 · 3 · 11.

[uredi] Faktorizacija mnogočlenikov

Faktorizacija mnogočlenikov (polinomov) je postopek preoblikovanja mnogočlenika v obliko produkta preprostejših mnogočlenikov.

V realnem lahko vsak polinom stopnje 3 ali več zapišemo kot produkt linearnih in kvadratnih polinomov (tj. polinomov stopnje 1 in 2).

Zgled razcepa v realnem: p(x) = x3 + x2 − 4x + 6 = (x + 3)(x2 − 2x + 2)

V kompleksnem lahko vsak polinom stopnje 2 ali več zapišemo kot produkt samih linearnih polinomov (tj. polinomov stopnje 1).

Zgled razcepa v kompleksnem: p(x) = x3 + x2 − 4x + 6 = (x + 3)(x − 1 − i)(x − 1 + i)

Nekaj enačb, ki jih pogosto uporabljamo pri razcepljanju mnogočlenikov:

  • razcep z izpostavljanjem: ab + ac = a(b + c)
  • razcep razlike kvadratov: a2b2 = (ab)(a + b)
  • razcep vsote kvadratov (samo v kompleksnem): a2 + b2 = (abi)(a + bi)
  • razcep razlike kubov: a3b3 = (ab)(a2 + ab + b2)
  • razcep vsote kubov: a3 + b3 = (a + b)(a2ab + b2)
  • razcep tričlenika po Viètovem pravilu: x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)

[uredi] Faktorizacija trigonometričnih funkcij

Za preoblikovanje vsote trigonometričnih funkcij v produkt uporabljamo naslednje enačbe:

  • vsota sinusov: \sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}
  • razlika sinusov: \sin x-\sin y=2\sin\frac{x-y}{2} \cos\frac{x+y}{2}
  • vsota kosinusov: \cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}
  • razlika kosinusov: \cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}

[uredi] Glej tudi