Diadni produkt

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Diadni produkt (oznaka  \otimes \,) je v multilinearni algebri tenzorski produkt dveh vektorjev, ki imata enako razsežnost. Rezultat je tenzor drugega reda in ranga 1. Imenuje se tudi tenzorski produkt vektorjev (zunanji produkt). Tako diadni produkt dveh vektorjev  u \, in  v \,, ki imata enako razsežnost, zapišemo kot

\mathbb{P} = \mathbf{u}\otimes\mathbf{v}

Komponente[uredi | uredi kodo]

Če imamo izbrano bazo \{\mathbf{e}_i\}, so komponente  P_{ij} \, diadnega produkta \mathbb{P} = \mathbf{u} \otimes \mathbf{v}

\displaystyle P_{ij} = u_i v_j

kjer je

  • \mathbf{u} = \sum_i u_i \mathbf{e}_i
  • \mathbf{v} = \sum_j v_j \mathbf{e}_j

ali

\mathbb{P} = \sum_{i,j} P_{ij} \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j .

Matrični zapis[uredi | uredi kodo]

Diadni produkt lahko zapišemo tudi v matrični obliki. Vektor <mah> u \,</math> zapišemo kot stolpični vektor v obliki \mathbf{u}=  \begin{bmatrix}
 u_1 \\
 u_2 \\
 u_3 \end{bmatrix}. Vektor  v \, pa je vrstični vektor \mathbf{v}=  \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \end{bmatrix}\,. Kot produkt obeh vektorjev dobimo kvadratno matriko v obliki

 \begin{bmatrix}
 u_1v_1 & u_1v_2 & u_1v_3 \\
 u_2v_1 & u_2v_2 & u_2v_3 \\
 u_3v_1 & u_3v_2 & u_3v_3
 \end{bmatrix} \,.

Iz tega vidimo, da je diadni produkt samo posebni primer Kroneckerjevega produkta.

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Za diadni produkt veljajo naslednje lastnosti

  •  (\alpha \mathbf{u}) \otimes \mathbf{v} = \mathbf{u} \otimes (\alpha \mathbf{v}) = \alpha (\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}) \,
  •  \mathbf{u} \otimes (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} + \mathbf{u} \otimes \mathbf{w}\,
  •   (\mathbf{u} + \mathbf{v}) \otimes \mathbf{w} = \mathbf{u} \otimes \mathbf{w} + \mathbf{v} \otimes \mathbf{w}\,
  •  (\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}) \mathbf{w} = \mathbf{u} (\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}) \,
  •  \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \otimes \mathbf{w}) = (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{w} \,.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]