Kroneckerjev produkt

Kroneckerjev produkt (oznaka $\,\otimes\,$) je operacija, ki se izvaja na dveh matrikah poljubne velikosti, in daje bločno matriko. Kroneckerjevega produkta ne smemo zamenjati z običajnim množenjem matrik. Kroneckerjev produkt daje matriko tenzorskega produkta.

Imenuje se po nemškem matematiku in logiku Leopoldu Kroneckerju (1823 – 1891), čeprav ni dokazov, da ga je prvi uporabljal.

Definicija

Naj bo $A \,$ matrika z razsežnostjo $m \times n \,$ in naj bo $B \,$ z razsežnostjo $p \times q \,$, potem je Kroneckerjev produkt $A \otimes B \,$ bločna matrika z razsežnostjo $mp \times nq \,$

$\mathbf{A}\otimes\mathbf{B} = \begin{bmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{bmatrix}.$.

Bolj natančno je to enako

$\mathbf{A}\otimes\mathbf{B} = \begin{bmatrix} a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & \cdots & a_{11} b_{1q} & \cdots & \cdots & a_{1n} b_{11} & a_{1n} b_{12} & \cdots & a_{1n} b_{1q} \\ a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & \cdots & a_{11} b_{2q} & \cdots & \cdots & a_{1n} b_{21} & a_{1n} b_{22} & \cdots & a_{1n} b_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{11} b_{p1} & a_{11} b_{p2} & \cdots & a_{11} b_{pq} & \cdots & \cdots & a_{1n} b_{p1} & a_{1n} b_{p2} & \cdots & a_{1n} b_{pq} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} b_{11} & a_{m1} b_{12} & \cdots & a_{m1} b_{1q} & \cdots & \cdots & a_{mn} b_{11} & a_{mn} b_{12} & \cdots & a_{mn} b_{1q} \\ a_{m1} b_{21} & a_{m1} b_{22} & \cdots & a_{m1} b_{2q} & \cdots & \cdots & a_{mn} b_{21} & a_{mn} b_{22} & \cdots & a_{mn} b_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} b_{p1} & a_{m1} b_{p2} & \cdots & a_{m1} b_{pq} & \cdots & \cdots & a_{mn} b_{p1} & a_{mn} b_{p2} & \cdots & a_{mn} b_{pq} \end{bmatrix}$.

Če sta $A \,$ in $B \,$ linearni transformaciji $V_1 \to W_1 \,$ in $V_2 \to W_2 \,$, potem je $A \otimes B \,$ tenzorski produkt dveh preslikav $V_1 \otimes W_2 \to W_1 \otimes W_2 \,$.

Primeri

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\otimes \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1\cdot \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} & 2 \cdot \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}\\\\ 3\cdot \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} & 4 \cdot \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 5 & 6 & 10 & 12 \\ 7 & 8 & 14 & 16 \\ 15 & 18 & 20 & 24 \\ 21 & 24 & 28 & 32 \end{bmatrix}$.

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cdot \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} & 3 \cdot \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} & 2 \cdot \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \\\\ 1 \cdot \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} & 0 \cdot \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} & 0 \cdot \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \\\\ 1 \cdot \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} & 2 \cdot \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} & 2 \cdot \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 & 5 & 0 & 15 & 0 & 10 \\ 5 & 0 & 15 & 0 & 10 & 0 \\ 1 & 1 & 3 & 3 & 2 & 2 \\ 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 10 & 0 & 10 \\ 5 & 0 & 10 & 0 & 10 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 6 & 7 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\cdot 0 & 1\cdot 5 & 2\cdot 0 & 2\cdot 5 \\ 1\cdot 6 & 1\cdot 7 & 2\cdot 6 & 2\cdot 7 \\ 3\cdot 0 & 3\cdot 5 & 4\cdot 0 & 4\cdot 5 \\ 3\cdot 6 & 3\cdot 7 & 4\cdot 6 & 4\cdot 7 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 5 & 0 & 10 \\ 6 & 7 & 12 & 14 \\ 0 & 15 & 0 & 20 \\ 18 & 21 & 24 & 28 \end{bmatrix}$.

Lastnosti

Kroneckerjev produkt je posebni primer tenzorskega produkta

• $\mathbf{A} \otimes (\mathbf{B}+\mathbf{C}) = \mathbf{A} \otimes \mathbf{B} + \mathbf{A} \otimes \mathbf{C},$
• $(\mathbf{A}+\mathbf{B})\otimes \mathbf{C} = \mathbf{A} \otimes \mathbf{C} + \mathbf{B} \otimes \mathbf{C},$
• $(k\mathbf{A}) \otimes \mathbf{B} = \mathbf{A} \otimes (k\mathbf{B}) = k(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B}),$
• $(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B}) \otimes \mathbf{C} = \mathbf{A} \otimes (\mathbf{B} \otimes \mathbf{C}),$.

kjer je

• • $A \,$ matrika
  • $B \,$ matrika
  • $C \,$ matrika
  • $k \,$ skalar

Komutativnost

Kroneckerjev produkt ni komutativen. To pomeni da sta matriki $A \otimes B \,$ in $B \otimes A \,$ različni. To zapišemo kot :$A\otimes B\neq B\otimes A$. Sta pa obe matriki permutacijsko ekvivalentni. To pomeni, da obstojata dve matriki $P \,$ in $Q \,$ tako, da je

$\mathbf{A} \otimes \mathbf{B} = \mathbf{P} \, (\mathbf{B} \otimes \mathbf{A}) \, \mathbf{Q} \,$.

Č e pa sta matriki $A \,$ in $B \,$ kvadratni, potem sta $A \otimes B \,$ ali pa $B \otimes A \,$ permutacijsko podobni, kar pomeni, da je $P = Q^T \,$.

Mešani produkt

Če so matrike $A \,$, $B \,$, $C\,$ in $D\,$ takšne, da lahko določimo $AC\,$ in $BD \,$, potem velja tudi

$(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B})(\mathbf{C} \otimes \mathbf{D}) = \mathbf{AC} \otimes \mathbf{BD}$.

Transponiranje

Transponiranje Kroneckerjevega produkta nam da

$(A \otimes B)^T = A^T \otimes B^T$.

Ostale lastnosti

• konjugiranje komplesne matrike nam da

$\overline{A \otimes B} = \overline{A} \otimes \overline{B}$.

• Adjungirana matrika je enaka

$(A \otimes B)^* = A^* \otimes B^*$

• sled je za kvadratne matrike enaka

$\mathrm{sl}(A \otimes B) = \mathrm{sl}(A) \cdot \mathrm{sl}(B)$

• za rang velja

$\mathrm{rank}(A \otimes B) = \mathrm{rank}(A) \cdot \mathrm{rank}(B)$

• če ima matrika $A \,$ razsežnost $n \times n \,$ in matrika $B \,$ razsežnost $m \times m \,$, potem za determinanto velja

$\det(A\otimes B)={\det}^m (A) \, {\det}^n(B)$

• če so $(\lambda_i)_{i=1..n}\,$ lastne vrednosti matrike $A \,$ in $(\mu_j)_{j=1..m}\,$ lastne vrednosti matrike $B \,$, potem so

$(\lambda_i \, \mu_j)_{i=1..n \atop j=1..m}$ lastne vrednosti matrike $A\otimes B$

• kadar sta matriki $A \,$ in $B \,$ obrnljivi velja tudi

$(A\otimes B)^{-1}=A^{-1} \otimes B^{-1}$

• kadar imajo matrike $A,B,C \,$ in $D \,$ razsežnosti
  • $A : m \times n \,$
  • $B : p \times q \,$
  • $C : n \times r \,$
  • $D : q \times s \,$

in sta matriki $AC \,$ in $BD \,$ definirani, potem velja

$AC\otimes BD=(>A\otimes B)(C\otimes D)$

Zunanje povezave

• Kroneckerjev produkt na MathWorld (v angleščini)
• Kroneckerjev produkt (v angleščini)
• Kroneckerjev produkt na PlanethMath (v angleščini)