Kroneckerjev produkt

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Kroneckerjev produkt (oznaka \,\otimes\,) je operacija, ki se izvaja na dveh matrikah poljubne velikosti, in daje bločno matriko. Kroneckerjevega produkta ne smemo zamenjati z običajnim množenjem matrik. Kroneckerjev produkt daje matriko tenzorskega produkta.

Imenuje se po nemškem matematiku in logiku Leopoldu Kroneckerju (1823 – 1891), čeprav ni dokazov, da ga je prvi uporabljal.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Naj bo  A \, matrika z razsežnostjo  m \times n \, in naj bo  B \, z razsežnostjo  p \times q \,, potem je Kroneckerjev produkt  A \otimes B \, bločna matrika z razsežnostjo  mp \times nq \,

\mathbf{A}\otimes\mathbf{B} = \begin{bmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{bmatrix}. .

Bolj natančno je to enako

\mathbf{A}\otimes\mathbf{B} = \begin{bmatrix}
   a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & \cdots & a_{11} b_{1q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{1n} b_{11} & a_{1n} b_{12} & \cdots & a_{1n} b_{1q} \\
   a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & \cdots & a_{11} b_{2q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{1n} b_{21} & a_{1n} b_{22} & \cdots & a_{1n} b_{2q} \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
   a_{11} b_{p1} & a_{11} b_{p2} & \cdots & a_{11} b_{pq} & 
                   \cdots & \cdots & a_{1n} b_{p1} & a_{1n} b_{p2} & \cdots & a_{1n} b_{pq} \\
   \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
   \vdots & \vdots & & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
   a_{m1} b_{11} & a_{m1} b_{12} & \cdots & a_{m1} b_{1q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{mn} b_{11} & a_{mn} b_{12} & \cdots & a_{mn} b_{1q} \\
   a_{m1} b_{21} & a_{m1} b_{22} & \cdots & a_{m1} b_{2q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{mn} b_{21} & a_{mn} b_{22} & \cdots & a_{mn} b_{2q} \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
   a_{m1} b_{p1} & a_{m1} b_{p2} & \cdots & a_{m1} b_{pq} & 
                   \cdots & \cdots & a_{mn} b_{p1} & a_{mn} b_{p2} & \cdots & a_{mn} b_{pq} 
\end{bmatrix} .

Če sta  A \, in  B \, linearni transformaciji  V_1 \to W_1 \, in  V_2 \to W_2 \,, potem je  A \otimes B \, tenzorski produkt dveh preslikav  V_1 \otimes W_2 \to W_1 \otimes W_2 \,.

Primeri[uredi | uredi kodo]

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\otimes \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}
=\begin{bmatrix} 
1\cdot \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} & 2 \cdot \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}\\\\
3\cdot \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} & 4 \cdot \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix} 5 & 6 & 10 & 12 \\ 7 & 8 & 14 & 16 \\ 15 & 18 & 20 & 24 \\ 21 & 24 & 28 & 32 \end{bmatrix}.

\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix}
\otimes
\begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 
1 \cdot \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} & 
3 \cdot \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} & 
2 \cdot \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \\\\
1 \cdot \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} & 
0 \cdot \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} & 
0 \cdot \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \\\\
1 \cdot \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} & 
2 \cdot \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} & 
2 \cdot \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} 
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix} 
 0 & 5 &  0 & 15 &  0 & 10 \\
 5 & 0 & 15 &  0 & 10 & 0  \\
 1 & 1 &  3 &  3 &  2 & 2  \\
 0 & 5 &  0 &  0 &  0 & 0  \\
 5 & 0 &  0 &  0 &  0 & 0  \\
 1 & 1 &  0 &  0 &  0 & 0  \\
 0 & 5 &  0 & 10 &  0 & 10 \\
 5 & 0 & 10 &  0 & 10 & 0  \\
 1 & 1 &  2 &  2 &  2 & 2
\end{bmatrix}

  \begin{bmatrix} 
    1 & 2 \\ 
    3 & 4 \\ 
  \end{bmatrix}
\otimes
  \begin{bmatrix} 
    0 & 5 \\ 
    6 & 7 \\ 
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix} 
    1\cdot 0 & 1\cdot 5 & 2\cdot 0 & 2\cdot 5 \\ 
    1\cdot 6 & 1\cdot 7 & 2\cdot 6 & 2\cdot 7 \\ 
    3\cdot 0 & 3\cdot 5 & 4\cdot 0 & 4\cdot 5 \\ 
    3\cdot 6 & 3\cdot 7 & 4\cdot 6 & 4\cdot 7 \\ 
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix} 
    0 & 5 & 0 & 10 \\ 
    6 & 7 & 12 & 14 \\
    0 & 15 & 0 & 20 \\
    18 & 21 & 24 & 28
  \end{bmatrix}
.

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Kroneckerjev produkt je posebni primer tenzorskega produkta

  •  \mathbf{A} \otimes (\mathbf{B}+\mathbf{C}) = \mathbf{A} \otimes \mathbf{B} + \mathbf{A} \otimes \mathbf{C},
  •  (\mathbf{A}+\mathbf{B})\otimes \mathbf{C} = \mathbf{A} \otimes \mathbf{C} + \mathbf{B} \otimes \mathbf{C},
  •  (k\mathbf{A}) \otimes \mathbf{B} = \mathbf{A} \otimes (k\mathbf{B}) = k(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B}),
  •  (\mathbf{A} \otimes \mathbf{B}) \otimes \mathbf{C} = \mathbf{A} \otimes (\mathbf{B} \otimes \mathbf{C}), .

kjer je

    •  A \, matrika
    •  B \, matrika
    •  C \, matrika
    •  k \, skalar

Komutativnost[uredi | uredi kodo]

Kroneckerjev produkt ni komutativen. To pomeni da sta matriki  A \otimes B \, in  B \otimes A \, različni. To zapišemo kot :A\otimes B\neq B\otimes A. Sta pa obe matriki permutacijsko ekvivalentni. To pomeni, da obstojata dve matriki  P \, in  Q \, tako, da je

 \mathbf{A} \otimes \mathbf{B} = \mathbf{P} \, (\mathbf{B} \otimes \mathbf{A}) \, \mathbf{Q} \, .

Č e pa sta matriki  A \, in  B \, kvadratni, potem sta  A \otimes B \, ali pa  B \otimes A \, permutacijsko podobni, kar pomeni, da je  P = Q^T \,.

Mešani produkt[uredi | uredi kodo]

Če so matrike  A \,,  B \,,  C\, in  D\, takšne, da lahko določimo  AC\, in  BD \,, potem velja tudi

 (\mathbf{A} \otimes \mathbf{B})(\mathbf{C} \otimes \mathbf{D}) = \mathbf{AC} \otimes \mathbf{BD} .

Transponiranje[uredi | uredi kodo]

Transponiranje Kroneckerjevega produkta nam da

(A \otimes B)^T = A^T \otimes B^T.

Ostale lastnosti[uredi | uredi kodo]

\overline{A \otimes B} = \overline{A} \otimes \overline{B}.
(A \otimes B)^* = A^* \otimes B^*
  • sled je za kvadratne matrike enaka
\mathrm{sl}(A \otimes B) = \mathrm{sl}(A) \cdot \mathrm{sl}(B)
\mathrm{rank}(A \otimes B) = \mathrm{rank}(A) \cdot \mathrm{rank}(B)
  • če ima matrika  A \, razsežnost  n \times n \, in matrika  B \, razsežnost  m \times m \,, potem za determinanto velja
\det(A\otimes B)={\det}^m (A) \, {\det}^n(B)
(\lambda_i \, \mu_j)_{i=1..n \atop j=1..m} lastne vrednosti matrike A\otimes B
(A\otimes B)^{-1}=A^{-1} \otimes B^{-1}
  • kadar imajo matrike A,B,C \, in D \, razsežnosti
    • A : m \times n \,
    • B : p \times q \,
    • C : n \times r \,
    • D : q \times s \,

in sta matriki  AC \, in  BD \, definirani, potem velja [1]

AC\otimes BD=(>A\otimes B)(C\otimes D)

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Steeb, Willi Hans: Kronecker Product of Matrices and Applications. BI-Wiss.Verlag, 1991, ISBN 3-411-14811-X, S.16

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]