Vivianijeva krivulja

Vivianijeva krivulja kot presek sfere in valja (v zeleni barvi).

Vivianijeva krivulja (tudi Vivianijevo okno) je zaprta prostorska krivulja, ki se jo dobi v preseku sfere in valja tako, da je valj tangenta na sfero in da teče skozi središče sfere.

Imenuje se po italijanskem matematiku in fiziku Vincenzu Vivianiju (1622 – 1703).

Krivulja se dobi s presekom sfere, ki ima polmer 2a in je njena enačba dana z:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=4a^{2}\!\,$

in valjem, ki ima središče v točki $(a,0,0)$ s polmerom $a$ in danim z enačbo:

$(x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}\!\,.$

Krivulja je dana s parametričnimi enačbami:

$x=a(1+\cos(t))\!\,,$

$y=a\sin(t)\!\,,$

$z=2a\sin \left({\frac {t}{2}}\right)\!\,.$

Dolžina loka

Vivianijeva krivulja ima dolžino loka:

$8{\sqrt {2}}aE(1/2{\sqrt {2}})\!\,,$

kjer je:

• $E(k)\,$ popolni eliptični integral druge vrste.

Funkcija dolžine loka pa je:

$2a{\sqrt {2}}E(1/2t,1/2{\sqrt {2}})\!\,.$

Ukrivljenost

Funkcija ukrivljenosti je:

$\kappa ={\frac {\sqrt {13+3\cos t}}{a(3+\cos t)^{3/2}}}\!\,.$

Vzvoj (torzija)

Funkcija vzvoja je:

$\tau (t)={\frac {6\cos {\frac {1}{2t}}}{a(13+3\cos t)}}\!\,.$

Glej tudi

• presek sfere in valja

Zunanje povezave

• Vivianova krivulja v Encyclopedia of Science (angleško)
• Vivianijeva krivulja na WolframAlpha (angleško)
• Vivianijeva krivulja v Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (tudi simulacije) (francosko)