Sylvestrova matrika

Sylvestrova matrika je matrika, ki je povezana z dvema polinomoma.

Imenuje se po angleškem matematiku Jamesu Josephu Sylvestru (1814 – 1897).

Definicija

Naj bosta $p\,$$p\,$ in $q\,$$q\,$ dva neničelna polinoma stopnje $m\,$$m\,$ in $n\,$$n\,$

$p(z)=p_{0}+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\cdots +p_{m}z^{m},\;q(z)=q_{0}+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\cdots +q_{n}z^{n}.$$p(z)=p_{0}+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\cdots +p_{m}z^{m},\;q(z)=q_{0}+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\cdots +q_{n}z^{n}.$.

Sylvestrovo matriko določata polinoma $p\,$$p\,$ in $q\,$$q\,$. Razsežnost te matrike je enaka $(n+m)\times (n+m)\,$$(n+m)\times (n+m)\,$ . Dobi pa se tako, da

• je prva vrstica matrike enaka :${\begin{pmatrix}p_{m}&p_{m-1}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.$${\begin{pmatrix}p_{m}&p_{m-1}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.$
• druga vrstica matrike je enaka prvi, vendar je premaknjena za en stolpec proti desni, prvi element pa je enak 0
• ostalih $n-2\,$$n-2\,$ vrstic se dobi na enak način
• vrstica ${n+1}\,$${n+1}\,$ je enaka

${\begin{pmatrix}q_{n}&q_{n-1}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.$${\begin{pmatrix}q_{n}&q_{n-1}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.$.

• naslednje vrstice se dobijo podobno

Zgled

Če je $m=4\,$$m=4\,$ in $n=3\,$$n=3\,$ je Sylvestrova matrika enaka

$S_{p,q}={\begin{pmatrix}p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0\\0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0\\0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0&0\\0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0\\0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0\\0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}\\\end{pmatrix}}.$$S_{p,q}={\begin{pmatrix}p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0\\0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0\\0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0&0\\0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0\\0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0\\0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}\\\end{pmatrix}}.$.

Zunanje povezave

• Sylvestrova matrika na MathWorld (v angleščini)