Stohastična matrika

Stohastična matrika (tudi verjetnostna matrika ali matrika prehodov) je matrika, ki se v matematiki uporablja za opis prehodov v Markovskih verigah. Uporablja se tudi v teoriji verjetnosti, statistiki, linearni algebri in računalništvu.

Stohastično matriko označujemo s $P\!$$P\!$, posamezne komponente (v vrstici ali stolpcu) pa s $p_{i,j}\!$$p_{i,j}\!$

$P=\left({\begin{matrix}p_{1,1}&p_{1,2}&\dots &p_{1,j}&\dots \\p_{2,1}&p_{2,2}&\dots &p_{2,j}&\dots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots \\p_{i,1}&p_{i,2}&\dots &p_{i,j}&\dots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots \end{matrix}}\right)$$P=\left({\begin{matrix}p_{1,1}&p_{1,2}&\dots &p_{1,j}&\dots \\p_{2,1}&p_{2,2}&\dots &p_{2,j}&\dots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots \\p_{i,1}&p_{i,2}&\dots &p_{i,j}&\dots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots \end{matrix}}\right)$

V matrici so verjetnosti za enostaven prehod (z enim korakom) iz stanja $i\!$$i\!$ v stanje $j\!$$j\!$ označene s $p_{i,j}\!$$p_{i,j}\!$. Vsaka vrstica ali stolpec v stohastični matrici je verjetnostni vektor (zaradi tega ga včasih imenujemo tudi stohastični vektor).

Nekatere lastnosti

Znanih je več vrst stohastičnih matrik:

• desna stohastična matrika
• leva stohastična matrik
• dvojno stohastična matrika

Desna stohastična matrika je kvadratna matrika, njene vrstice sestavljajo nenegativna realna števila, vsota vsake vrstice pa je 1. To opišemo na naslednji način:

$p_{ij}\geq 0,\quad \forall i,j=1,2,\ldots$$p_{ij}\geq 0,\quad \forall i,j=1,2,\ldots$ in $\sum \limits _{j=1}^{\infty }p_{ij}=1,\quad \forall i$$\sum \limits _{j=1}^{\infty }p_{ij}=1,\quad \forall i$

Leva stohastična matrika je kvadratna matrika, njene stolpce pa sestavljajo nenegativna realna števila tako, da je vsota v vsakem stolpcu enaka 1

$p_{ij}\geq 0,\quad \forall i,j=1,2,\ldots$$p_{ij}\geq 0,\quad \forall i,j=1,2,\ldots$ in $\sum \limits _{i=1}^{\infty }p_{ij}=1,\quad \forall j$$\sum \limits _{i=1}^{\infty }p_{ij}=1,\quad \forall j$.

Dvojno stohastična matrika (tudi bistohastična) je tista, ki je istočasno levo in desno stohastična, kar pomeni, da je vsota elementov v vsaki vrstici in stolpcu enaka 1. Primer takšne matrike je

$P={\begin{pmatrix}0,5&0,3&0,2\\0,2&0,4&0,4\\0,3&0,3&0,4\end{pmatrix}}$$P={\begin{pmatrix}0,5&0,3&0,2\\0,2&0,4&0,4\\0,3&0,3&0,4\end{pmatrix}}$.

Če sta $P\!$$P\!$ in $Q\!$$Q\!$ dve levi ali desni (tudi dvojno) stohastični matriki, potem je tudi njun produkt $R=P.Q\!$$R=P.Q\!$ levo ali desno (dvojno) stohastična matrika.

Glej tudi

• verjetnostni vektor