Stohastična matrika

Stohastična matrika (tudi verjetnostna matrika ali matrika prehodov) je matrika, ki se v matematiki uporablja za opis prehodov v Markovskih verigah. Uporablja se tudi v teoriji verjetnosti, statistiki, linearni algebri in računalništvu.

Stohastično matriko označujemo s $P\!$, posamezne komponente (v vrstici ali stolpcu) pa s $p_{{i,j}}\!$

$P=\left({\begin{matrix}p_{{1,1}}&p_{{1,2}}&\dots &p_{{1,j}}&\dots \\p_{{2,1}}&p_{{2,2}}&\dots &p_{{2,j}}&\dots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots \\p_{{i,1}}&p_{{i,2}}&\dots &p_{{i,j}}&\dots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots \end{matrix}}\right)$

V matrici so verjetnosti za enostaven prehod (z enim korakom) iz stanja $i\!$ v stanje $j\!$ označene s $p_{{i,j}}\!$. Vsaka vrstica ali stolpec v stohastični matrici je verjetnostni vektor (zaradi tega ga včasih imenujemo tudi stohastični vektor).

Nekatere lastnosti

Znanih je več vrst stohastičnih matrik:

• desna stohastična matrika
• leva stohastična matrik
• dvojno stohastična matrika

Desna stohastična matrika je kvadratna matrika, njene vrstice sestavljajo nenegativna realna števila, vsota vsake vrstice pa je 1. To opišemo na naslednji način:

$p_{{ij}}\geq 0,\quad \forall i,j=1,2,\ldots$ in $\sum \limits _{{j=1}}^{{\infty }}p_{{ij}}=1,\quad \forall i$

Leva stohastična matrika je kvadratna matrika, njene stolpce pa sestavljajo nenegativna realna števila tako, da je vsota v vsakem stolpcu enaka 1

$p_{{ij}}\geq 0,\quad \forall i,j=1,2,\ldots$ in $\sum \limits _{{i=1}}^{{\infty }}p_{{ij}}=1,\quad \forall j$.

Dvojno stohastična matrika (tudi bistohastična) je tista, ki je istočasno levo in desno stohastična, kar pomeni, da je vsota elementov v vsaki vrstici in stolpcu enaka 1. Primer takšne matrike je

$P={\begin{pmatrix}0,5&0,3&0,2\\0,2&0,4&0,4\\0,3&0,3&0,4\end{pmatrix}}$.

Če sta $P\!$ in $Q\!$ dve levi ali desni (tudi dvojno) stohastični matriki, potem je tudi njun produkt $R=P.Q\!$ levo ali desno (dvojno) stohastična matrika.

Glej tudi

• verjetnostni vektor