Ogled vira Sedemkotnik

[[Slika:Heptagon.svg|thumb|right|200px|Pravilni sedemkotnik]]
[[Slika:Heptagon2 (PSF).svg|thumb|right|200px|Nepravilni sedemkotnik]]

'''Sédemkótnik''' ali '''sedmerokótnik''' ali s [[tujka|tujko]] '''héptagon''' ([[stara grščina|starogrško]] heptagōnos, iz hepta – ''sedem'' in gōnos – ''tak, ki ima [[kot]]e'') je v [[ravninska geometrija|ravninski geometriji]] [[mnogokotnik]] s [[7 (število)|sedmimi]] [[stranica]]mi, sedmimi [[oglišče|oglišči]] in sedmimi notranjimi [[kot]]i. 

Sedemkotnik včasih imenujejo tudi ''septagon'', kjer je [[predpona]] sept- ([[elizija]] [[številčna predpona|številčne predpone]] septua-, izvedene iz [[latinščina|latinščine]]).

== Splošne značilnosti ==

V '''[[pravilni mnogokotnik|pravilnem]] sedemkotniku''' so vse [[enakostranični mnogokotnik|stranice]] in [[enakokotni mnogokotnik|koti enaki]], [[notranji kot]] pa znaša 5π/7 [[radian]]ov, oziroma 128 4/7 = 128,5714286... [[kotna stopinja|stopinj]]. Vsota notranjih kotov v [[preprosti mnogokotnik|preprostem]] sedemkotniku je enaka:

: <math> S_{7}=(7-2)\cdot 180^{\circ} = 900^{\circ} \!\, . </math>

Njegov [[Schläflijev simbol]] je {7}.

Dolžina stranice <math>a\,\!</math> je:

: <math> a = 2 R \sin \frac{\pi}{7} \approx 0,86777 R \!\, , </math>

kjer je ''R'' polmer [[očrtana krožnica|očrtane krožnice]].

== Obseg ==

[[Obseg]] sedemkotnika z dolžino stranice <math>a\,\!</math> je:

: <math> o = 7a \!\, . </math>

== Ploščina ==

[[Ploščina]] pravilnega sedemkotnika z dolžino stranice <math>a\,\!</math> je:

: <math> p = \frac{7}{4} \, \operatorname{ctg} \, \left( \frac{\pi}{7} \right) a^{2} \approx 3,63391 a^{2} \!\, . </math>

To se lahko vidi, če se razdeli sedemkotnik s stranico dolžine 1 na sedem trikotniških rezin z vrhovi v središču in ogliščih sedemkotnika, potem pa se vsak trikotnik s pomočjo [[apotema|apoteme]] kot skupne stranice razdeli na pol. Dolžina apoteme je polovica kotangensa <math>\pi/7\, </math>, ploščina vsakega od 14-ih majhnih trikotnikov je 1/4 dolžine apoteme.

Točen [[algebrski izraz]] prek [[polinom]]a <math>x {3} + x {2} - 2x\, </math> (ena od njegovih [[ničla funkcije|ničel]] je <math>2\cos \tfrac{2\pi}{7}</math>)<ref name="Gleason">{{sktxt|Gleason|1988|loc=str. 186 (sl. 1) –187}}.</ref>{{rp|186–187}} je dan z:

: <math> p = \frac{1}{4}\sqrt{\frac{7}{3}\left(35+2\sqrt[3]{196(13-3i\sqrt{3})}+2\sqrt[3]{196(13+3i\sqrt{3})}\right)}a^2 \!\, , </math>

kjer je <math>i\, </math> [[imaginarna enota]].

Ploščina pravilnega sedemkotnika s polmerom očrtane krožnice <math>R\,\!</math> je:

: <math> p = \frac{7}{2}R^{2} \sin \frac{2\pi}{7} \approx 2,73641 R^{2} \!\, . </math>

Ploščina očrtanega kroga je <math>\pi R^{2}\, </math>, tako da ga pravilni sedemkotnik napolni približno za vrednost:

: <math> \frac{7 \sin \frac{2\pi}{7}}{2\pi} \approx 0,87103 \!\, . </math>

== Konstrukcija ==

Pravilnega sedemkotnika se ne da [[Gauss-Wantzlov izrek|skonstruirati]] [[geometrijska konstrukcija|z ravnilom in šestilom]]. Obstaja pa več približnih geometrijskih konstrukcij.

== Simetrija ==
[[slika:Symmetries_of_heptagon.png|thumb|right|200px|[[simetrija|Simetrije]] pravilnega sedemkotnika. [[oglišče|Oglišča]] so pobarvana glede na njihove simetrijske lege. [[modra|Modre]] [[premica|premice]] [[zrcaljenje|zrcaljenj]] so narisane skozi oglišča in [[stranica|stranice]]. Redi giracij so podani v središču.]]

Pravilni sedemkotnik ima [[diedrska simetrija|simetrijo Dih<sub>7</sub>]], reda 14. Ker je 7 [[praštevilo]], obstaja ena [[podgrupa]] z diedrsko simetrijo: Dih<sub>1</sub>, in 2 simetriji [[ciklična grupa|ciklične grupe]]: Z<sub>7</sub> in Z<sub>1</sub>. 

Te 4 simetrije se lahko vidijo v 4-h različnih simetrijah sedemkotnika. [[John Horton Conway|Conway]] jih je označil s črko in z redom grupe.<ref>{{sktxt|Conway|Burgiel|Goodman-Strauss|2008|pp=275-278}}.</ref> Polna simetrija pravilne oblike je '''r14''' in nobena simetrija ni označena z '''a1'''. Diedrske simetrije so razdeljene glede na to ali potekajo skozi oglišča ('''d''' za diagonalo) ali stranice ('''p''' za pravokotnice), in '''i''' kadar premice zrcaljenj potekajo skozi oglišča in stranice. Ciklične simetrije v srednjem stolpcu so označene z '''g''' za njihove središčne redove giracij.

Vsaka simetrija podgrupe dovoljuje eno ali več [[prostostna stopnja|prostostnih stopenj]] za nepravilne oblike. Le podgrupa '''g7''' nima prostostnih stopenj in se jo ima lahko za [[usmerjeni graf|usmerjene stranice]].

== Pokritja ==
[[slika:2-d heptagon packing dual.svg|thumb|right|200px|Najgostejše znano [[teselacija|pokritje]] [[evklidska ravnina|evklidske]] [[ravnina|ravnine]] s sedemkotniki, ki so usmerjeni na dva načina (obarvano različno). [[Tapetna grupa]] takšnega pokritja je ''pmg'' (22*)]]
[[slika:Uniform tiling 73-t0.png|thumb|right|200px|[[Poincaréjev krožni model]] [[sedemkotniško tlakovanje|sedemkotniškega pokritja]] [[hiperbolična ravnina|hiperbolične ravnine]]]]

Sedemkotnik [[seznam pravilnih politopov|pravilno]] ne [[teselacija|pokrije]] [[evklidska ravnina|evklidske]] [[ravnina|ravnine]] v celoti in največja gostota pokritja je enaka:<ref>{{sktxt|Baez|2014}}.</ref>

: <math> \frac{2}{97} \left( -111 + 492 \cos \left( \frac{\pi}{7} \right) - 356 \cos^{2} \left( \frac{\pi}{7} \right) \right) = 0,89269068\ldots \!\, . </math>

Sedemkotnik lahko [[sedemkotniško tlakovanje|pokrije]] [[hiperbolična ravnina|hiperbolično ravnino]], kot je razvidno v [[Poincaréjev krožni model|Poincaréjevem krožnem modelu]].

== Galerija ==

<gallery>
Get the point (301733819).jpg|Sedemkotnik na [[kaktus]]u
Ayerbe-Refollau.jpg|Slaščica iz [[Ayerbe]]ja
Manesson-Travaux-de-Mars 9697.tif|[[dvorazsežni prostor|Dvorazsežni]] načrt sedemkotniške [[fortifikacija|fortifikacije]], [[Alain Manesson Mallet]], ''Les Travaux de Mars ou l'Art de la Guerre'', 1696
Rose à sept pointes de la façade occidentale.JPG|[[heptagram|Sedemkraka zvezda]] na [[cistercijani|cistercijanskem]] samostanu [[Beaulieu-en-Rouergue]] v [[Ginals]]u
Geometry problem-Sb 13088-IMG 0593-white.jpg|Geometrijski problem površine sedemkotnika razdeljenega na trikotnike na glineni ploščici, ki je pripadala šoli za pisanje, [[Susa, Perzija|Susa]], prva polovica 2. tisočletja pr. n. št.
</gallery>

== Glej tudi ==

* [[heptagram]]
* [[sedemkotniško število]]
* [[sedemstrana prizma]]

== Sklici ==

{{sklici|1}}

== Viri ==

{{refbegin|2}}
* {{citat|last1= Baez|first1= John Carlos|authorlink1= John Carlos Baez|title= Packing Regular Heptagons|date= 2014-11-15|work= blogs.ams.org|accessdate= 2016-06-08|url= http://blogs.ams.org/visualinsight/2014/11/15/packing-regular-heptagons/|language= en}}
* {{citat|last1= Conway|first1= John Horton|authorlink1= John Horton Conway|last2= Burgiel|first2= Heidi|last3= Goodman-Strauss|first3= Chaim|date= 2008|title= The Symmetries of Things|isbn= 978-1-56881-220-5|cobiss= 29751813|chapter= 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon|pages= 275-278}}
* {{citat|last1= Gleason|first1= Andrew Mattei|authorlink1= Andrew Mattei Gleason|url= http://apollonius.math.nthu.edu.tw/d1/ne01/jyt/linkjstor/regular/7.pdf#3|title= Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon|journal= [[The American Mathematical Monthly]]|date= marec 1988|volume= 95|issue= |pages= 185–194}}
{{refend}}

== Zunanje povezave ==

{{kategorija v Zbirki|Heptagons|sedemkotnik}}
* {{MathWorld|id=Heptagon|title=Heptagon}}

{{-}}

{{mnogokotniki}}

{{math-stub}}

[[Kategorija:Mnogokotniki]]
[[Kategorija:Osnovne oblike]]